PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Sejam z_1, z_2 \in \mathbb{C} com z_2 \neq 0. Considere as afirmações:

I. Se z_1 + z_2 \in \mathbb{R} e z_1 - z_2 \in \mathbb{R} então z_1 \in \mathbb{R} e z_2 \in \mathbb{R}.

II. Se z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R} e z_1/z_2 \in \mathbb{R} então z_1 \in \mathbb{R} e z_2 \in \mathbb{R}.

III. Se z_1 + z_2 \in \mathbb{R} e z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{R} então z_1 \in \mathbb{R} e z_2 \in \mathbb{R}.

É (são) sempre verdadeira(s):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II.
  5. E
    apenas III.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Se z_1+z_2=a\in\mathbb{R} e z_1-z_2=b\in\mathbb{R}, então z_1=\dfrac{a+b}{2} e z_2=\dfrac{a-b}{2}. Os dois são reais. Verdadeira.

II. Tome z_1=z_2=i. Então z_1z_2=i^2=-1\in\mathbb{R} e z_1/z_2=1\in\mathbb{R}, mas z_1\notin\mathbb{R}. Falsa.

III. Se z_1+z_2=s e z_1z_2=p são reais, z_1 e z_2 são raízes de x^2-sx+p=0, com coeficientes reais. Se o discriminante for negativo, as raízes são complexas conjugadas não reais. Exemplo: z_1=1+i e z_2=1-i, com soma 2 e produto 2, ambos reais, mas z_1\notin\mathbb{R}. Falsa.

Só a afirmação I é sempre verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Binclui a II, que falha com z_1=z_2=i (produto -1 e quociente 1 reais).
  • Cinclui a III, que falha com 1+i e 1-i (soma e produto reais).
  • Da II é falsa e ainda deixa de fora a I, que é verdadeira.
  • Ea III é falsa: raízes conjugadas de uma quadrática real com discriminante negativo.

Assuntos: números complexos, conjugado, equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗