PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja m \in \mathbb{R}. Considere os sistemas lineares

S_1 : \begin{cases} 4x - y = 2 \\ -16x + m^2y + z = -10 \\ 12x - 3y + z = 8 \end{cases} \quad \text{e} \quad S_2 : \begin{cases} 10x + z = m^2 + m - 1 \\ -5y + 5z = 14 \\ 5my + (14 - 5m)z = 14m^2 - 56 \end{cases}.

Assinale a alternativa correta:

  1. A
    Não existe m \in \mathbb{R} tal que S_1 é equivalente a S_2.
  2. B
    Existe exatamente um m > 0 tal que S_1 é equivalente a S_2.
  3. C
    Existe exatamente um m < 0 tal que S_1 é equivalente a S_2.
  4. D
    Existem exatamente dois valores distintos de m tais que S_1 é equivalente a S_2.
  5. E
    Existem infinitos valores distintos para m tais que S_1 é equivalente a S_2.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Vamos resolver S_1 e depois ver para quais m essa solução também resolve S_2.

  1. Em S_1, a 1ª equação dá y = 4x-2.
  2. Na 3ª equação: 12x - 3(4x-2) + z = 8 \Rightarrow 6 + z = 8 \Rightarrow z = 2.
  3. Na 2ª equação: -16x + m^2(4x-2) + 2 = -10 \Rightarrow 4(m^2-4)x = 2(m^2-6).

Se m^2 = 4, fica 0 = 2(4-6) = -4, o que é impossível. Então S_1 não tem solução para m=\pm 2 e, nesses casos, não pode ser equivalente a S_2 (que, como veremos, sempre tem solução).

O determinante de S_2 é 10\cdot[-5(14-5m) - 5m\cdot 5] = 10\cdot(-70) = -700 \neq 0. Logo S_2 tem solução única para todo m.

Resolvendo S_2 com a 2ª equação e z=2 (que S_1 exige): -5y+10=14 \Rightarrow y=-\tfrac45. Então x = \dfrac{y+2}{4} = \dfrac{3}{10}.

Substituindo (x,y,z)=(\tfrac{3}{10},-\tfrac45,2) nas outras equações de S_2:

  • 1ª: 3+2 = m^2+m-1 \Rightarrow m^2+m-6=0.
  • 3ª: -4m + 28 - 10m = 14m^2 - 56 \Rightarrow m^2+m-6=0.

As raízes são m=2 e m=-3. Descartamos m=2, pois S_1 é impossível nesse caso. Para m=-3: x=\dfrac{9-6}{2\cdot 5}=\dfrac{3}{10}, que confere com a solução de S_2.

Portanto só m=-3 funciona, e é negativo.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para em m^2+m-6=0 e esquece de testar m=2, que torna S_1 impossível.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExiste o valor m=-3, para o qual os dois sistemas têm a mesma solução.
  • BO único valor positivo candidato, m=2, torna S_1 impossível.
  • DConta m=2 e m=-3 como valores válidos, mas m=2 deixa S_1 sem solução.
  • EA condição m^2+m-6=0 admite só duas raízes, e apenas uma serve.

Assuntos: sistemas lineares, equivalência de sistemas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 43 no caderno 1ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗