PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em B. Seja r a reta determinada por A e C e seja O um ponto equidistante de A e C no mesmo lado que B com respeito a r. Sabendo que m(\overline{AO}) = 85, m(\overline{AB}) = 10 e m(\overline{BC}) = 24 temos que a distância de O a r é

  1. A
    64.
  2. B
    66.
  3. C
    74.
  4. D
    76.
  5. E
    84.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como o triângulo é retângulo em B, a hipotenusa é AC:

AC=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26.

O ponto O é equidistante de A e C, então está na mediatriz de \overline{AC}. Seja M o ponto médio de AC. Como O está na mediatriz, OM \perp AC, e a distância de O à reta r é OM.

  1. AM = \dfrac{26}{2} = 13.
  2. No triângulo retângulo AMO, com hipotenusa AO = 85:
OM=\sqrt{85^2-13^2}=\sqrt{7225-169}=\sqrt{7056}=84.

Conferindo: 84^2=7056. ✓

A informação de que O está do mesmo lado de B em relação a r só serve para definir a posição de O na mediatriz. Ela não altera o valor da distância, que é sempre positiva.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a conta; não resulta de \sqrt{85^2-13^2}.
  • BNão corresponde ao cálculo correto; erro de conta ao subtrair os quadrados.
  • CNão decorre de nenhuma relação válida na figura.
  • DNão corresponde ao cálculo correto da distância OM.

Assuntos: geometria plana, teorema de Pitágoras, mediatriz.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗