PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Se

x = 9 \log_{120} 2 + 3 \log_{120} 3 + 2 \log_{14400} 125

podemos afirmar que

  1. A
    ( ) x = 2.
  2. B
    ( ) x = 3.
  3. C
    ( ) x = 4.
  4. D
    ( ) x = 5.
  5. E
    ( ) x = 6.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, escreva tudo na base 120. Como 14400 = 120^2, vale \log_{14400} 125 = \frac{\log_{120}125}{\log_{120}120^2} = \frac{1}{2}\log_{120}125.

Assim, 2\log_{14400}125 = \log_{120}125 = 3\log_{120}5, pois 125 = 5^3.

Substituindo, e usando \log_b a^n = n\log_b a:

x = 9\log_{120}2 + 3\log_{120}3 + 3\log_{120}5

O fator 9 do primeiro termo não coincide com os demais. Mas 120 = 2^3\cdot 3\cdot 5, então:

\log_{120}120 = 3\log_{120}2 + \log_{120}3 + \log_{120}5 = 1

Multiplicando por 3:

9\log_{120}2 + 3\log_{120}3 + 3\log_{120}5 = 3

Isso é exatamente o valor de x. Logo x = 3.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece o fator 3 ao usar \log_{120}120 = 1, ou erra a mudança de base de 14400.
  • CNão corresponde ao valor obtido; surge de erro ao converter o último termo (por exemplo, sem dividir por 2).
  • DValor sem relação com a fatoração de 120; resulta de erro de conta.
  • EValor sem relação com a fatoração de 120; resulta de erro de conta.

Assuntos: logaritmos, mudança de base, propriedades dos logaritmos.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗