PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do ITA 2022

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Se necessitar, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. 1\ \text{UA} = d_{Terra-Sol} = 150 milhões de quilômetros.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Considere um solenoide muito longo com n_1 voltas por unidade de comprimento e raio a. Situado no lado externo do solenoide, há outro solenoide de comprimento L, com n_2 voltas por unidade de comprimento e raio b (b > a). Metade do solenoide externo possui resistividade \rho_1 e a outra metade \rho_2. Os fios que compõem o solenoide possuem uma área transversal A e seus terminais estão ligados em curto. A corrente que passa pelo solenóide interno varia linearmente com o tempo, I = I_0t. Desprezando a auto-indutância dos solenoides, a corrente induzida no solenóide externo pode ser escrita por

Dois solenoides coaxiais: um interno mais longo e de menor diâmetro, envolvido por um externo mais largo de comprimento L indicado por uma seta de duas pontas.

  1. A
    \frac{n_1 \mu_0 I_0 a^2 A}{b(\rho_1 + \rho_2)}.
  2. B
    \frac{n_1 \mu_0 I_0 b A}{(\rho_1 + \rho_2)}.
  3. C
    \frac{n_1 n_2 \mu_0 I_0 \pi a^2 A}{b(\rho_1 + \rho_2)}.
  4. D
    \frac{n_1 \mu_0 I_0 a^2 A(\rho_1 + \rho_2)}{n_2 L b \rho_1 \rho_2}.
  5. E
    \frac{n_1 \mu_0 I_0 a^2 A}{n_2 L b(\rho_1 + \rho_2)}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O campo do solenoide interno é B = \mu_0 n_1 I = \mu_0 n_1 I_0 t, e existe só dentro do raio a. O solenoide externo (raio b>a) é atravessado apenas pelo fluxo da área \pi a^2.

  1. Fluxo em uma espira do externo: \Phi_1 = \mu_0 n_1 I_0 t\,\pi a^2.
  2. FEM em uma espira (Lei de Faraday): \varepsilon_1 = \mu_0 n_1 I_0 \pi a^2.
  3. Número de espiras do externo: N = n_2 L, ligadas em série (fio contínuo em curto), logo \varepsilon = n_2 L\,\mu_0 n_1 I_0 \pi a^2.
  4. Resistência: cada espira tem comprimento 2\pi b, então o fio total mede n_2 L\cdot 2\pi b. Metade com \rho_1 e metade com \rho_2:
    R = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}\cdot\frac{n_2 L\,2\pi b}{A} = \frac{(\rho_1+\rho_2)\,n_2 L\,\pi b}{A}
  5. Corrente:
    i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{n_2 L\,\mu_0 n_1 I_0 \pi a^2\,A}{(\rho_1+\rho_2)\,n_2 L\,\pi b} = \frac{n_1\mu_0 I_0 a^2 A}{b(\rho_1+\rho_2)}

O n_2 L se cancela, pois a FEM e a resistência crescem juntas com o número de espiras.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa b no numerador e a^2 some: ignora que o fluxo só existe na área \pi a^2 do solenoide interno.
  • Cinclui n_2 e \pi indevidamente; n_2 se cancela entre FEM e resistência.
  • Dtrata as resistências como em paralelo e não cancela n_2L.
  • Edeixa n_2L no denominador, esquecendo que a FEM também é multiplicada por n_2L espiras.

Assuntos: lei de Faraday, solenoides, resistência elétrica.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗