PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

Um objeto de massa M, preso a uma mola ideal, realiza uma oscilação livre de frequência f. Em um determinado instante, um segundo objeto de massa m é fixado ao primeiro. Verifica-se que o sistema tem sua frequência de oscilação reduzida de \Delta f, muito menor que f. Sabendo que (1 + x)^n \approx 1 + nx, para |x| \ll 1, pode-se afirmar que f é dada por

  1. A
    \frac{M\Delta f}{2m}.
  2. B
    \frac{\sqrt{2}M\Delta f}{2m}.
  3. C
    \frac{M\Delta f}{m}.
  4. D
    \frac{\sqrt{2}M\Delta f}{m}.
  5. E
    \frac{2M\Delta f}{m}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A frequência de um sistema massa-mola é f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}. Ela diminui quando a massa aumenta.

Com a massa m fixada, a massa total passa a ser M+m e a nova frequência é:

f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M+m}}

Passo a passo:

  1. Divida a nova frequência pela original:

    \frac{f'}{f}=\sqrt{\frac{M}{M+m}}=\left(1+\frac{m}{M}\right)^{-1/2}

  2. A questão diz que \Delta f \ll f, então \frac{m}{M} é pequeno. Usando (1+x)^n\approx 1+nx com x=\frac{m}{M} e n=-\frac12:

    \frac{f'}{f}\approx 1-\frac{m}{2M}

  3. A redução é \Delta f=f-f', então:

    \frac{\Delta f}{f}=1-\frac{f'}{f}=\frac{m}{2M}

  4. Isolando f:

    f=\frac{2M\,\Delta f}{m}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ainverte o fator 2, tratando como se \Delta f/f = m/M \cdot 2 em vez de m/(2M).
  • Binclui um \sqrt{2} que não aparece em nenhuma etapa da aproximação.
  • Cesquece o expoente -1/2 e usa n=-1, perdendo o fator 2.
  • Dmistura \sqrt{2} sem justificativa e também erra o fator da expansão.

Assuntos: oscilador massa-mola, aproximação binomial, frequência de oscilação.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗