PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja z \in \mathbb{C}. Se a representação dos números 4, z + 2 e z^2 no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento do seu lado é igual a:

  1. A
    3.
  2. B
    \sqrt{10}.
  3. C
    \sqrt{11}.
  4. D
    2\sqrt{3}.
  5. E
    \sqrt{13}.
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Resolução comentada

Chame os vértices de A=4, B=z+2 e C=z^2. Num triângulo equilátero, o lado \overline{AC} é o lado \overline{AB} girado de 60^\circ em torno de A. Em complexos, isso significa multiplicar por e^{\pm i\pi/3}:

C-A=e^{\pm i\pi/3}(B-A)

  1. Calculamos as diferenças: B-A=z-2 e C-A=z^2-4=(z-2)(z+2).

  2. Se z=2, então B=A e o triângulo seria degenerado. Logo z\neq 2, e podemos dividir por z-2:

    z+2=e^{\pm i\pi/3}=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i

  3. Isolando z:

    z=-\frac32\pm\frac{\sqrt3}{2}i

  4. O lado é |B-A|=|z-2|:

    z-2=-\frac72\pm\frac{\sqrt3}{2}i \Rightarrow |z-2|=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{13}

Conferindo: |C-A|=|z-2|\cdot|z+2|=\sqrt{13}\cdot 1=\sqrt{13}, o mesmo valor, como deve ser.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde ao módulo de z-2; 3 não resulta de nenhuma etapa correta do cálculo.
  • BResulta de erro na conta do módulo de z-2; o correto dá \sqrt{49/4+3/4}=\sqrt{13}, não \sqrt{10}.
  • CValor sem base no cálculo de |z-2|; o módulo correto é \sqrt{13}.
  • DConfunde com a parte imaginária ou com a altura do triângulo; o lado não é 2\sqrt3.

Assuntos: números complexos, triângulo equilátero no plano complexo, rotação em complexos.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗