PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Pretende-se distribuir 48 balas em 4 tigelas designadas pelas letras A, B, C e D. De quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos 3 balas e a tigela B contenha a mesma quantidade que a tigela D.

  1. A
    190.
  2. B
    361.
  3. C
    722.
  4. D
    1083.
  5. E
    1444.
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Resolução comentada

Sejam a, b, c, d as quantidades de balas em A, B, C, D. As condições são a+b+c+d=48, todas com a,b,c,d \ge 3 e b=d.

Como b=d, a equação fica a + 2b + c = 48.

Para garantir o mínimo de 3 balas, faça a troca de variáveis a = a'+3, b = b'+3, c = c'+3, com a', b', c' \ge 0:

a' + 2b' + c' = 48 - 3 - 6 - 3 = 36

Agora conte as soluções inteiras não negativas. Fixe b', que pode ir de 0 a 18. Então a' + c' = 36 - 2b'.

O número de soluções de a'+c' = n é n+1. Logo, para cada b' há 37 - 2b' maneiras.

Somando para b' = 0, 1, \dots, 18:

\sum_{b'=0}^{18} (37 - 2b') = 19\cdot 37 - 2\cdot\frac{18\cdot 19}{2} = 703 - 342 = 361

Os termos formam uma P.A. 37, 35, \dots, 1 com 19 termos, e a soma é \frac{(37+1)\cdot 19}{2} = 361, confirmando o resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a soma correta; não corresponde à contagem das soluções de a'+2b'+c'=36.
  • CÉ o dobro de 361, contando em dobro os casos, como se b e d fossem escolhidos separadamente.
  • DValor sem base na contagem correta, que dá 361 soluções.
  • EÉ 4\cdot 361, resultado de contagem multiplicada indevidamente.

Assuntos: combinatória, equações lineares inteiras, progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗