PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja p(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que p(51) = 391 e 0 \le p(3) < 12. Então, p(3) é igual a:

  1. A
    5.
  2. B
    6.
  3. C
    7.
  4. D
    8.
  5. E
    9.
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Resolução comentada

Para inteiros a e b, vale que a-b divide p(a)-p(b), porque a^n-b^n é divisível por a-b e os coeficientes são inteiros.

Aplicando com a=51 e b=3:

  1. 51-3=48 divide p(51)-p(3)=391-p(3).
  2. Então 391-p(3)\equiv 0 \pmod{48}, ou seja, p(3)\equiv 391 \pmod{48}.
  3. Calculando: 48\cdot 8=384, logo 391=384+7 e p(3)\equiv 7 \pmod{48}.
  4. Como 0\le p(3)<12, o único valor congruente a 7 módulo 48 nesse intervalo é p(3)=7.

É possível existir tal polinômio: por exemplo, p(x)=\dfrac{384}{48}(x-3)+7=8x-17, que dá p(51)=408-17=391 e p(3)=7.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A5 não é congruente a 391 módulo 48, pois 391−5=386 não é múltiplo de 48.
  • B6 deixa 391−6=385, que não é divisível por 48.
  • D8 deixa 391−8=383, que não é divisível por 48.
  • E9 deixa 391−9=382, que não é divisível por 48.

Assuntos: polinômios, divisibilidade, congruência.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗