PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:

  1. A
    \frac{15}{100}.
  2. B
    \frac{3}{19}.
  3. C
    \frac{15}{190}.
  4. D
    \frac{5}{12}.
  5. E
    \frac{2}{5}.
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Resolução comentada

Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. Precisamos contar vértices e arestas para montar a probabilidade.

Arestas: cada face tem 5 arestas e cada aresta é compartilhada por 2 faces, então A = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30.

Vértices: em cada vértice se encontram 3 arestas, e cada aresta tem 2 vértices. Logo 3V = 2A = 60, ou seja, V = 20. (Confere pela relação de Euler: V - A + F = 20 - 30 + 12 = 2.)

Agora a probabilidade, que é casos favoráveis sobre casos possíveis:

  1. Casos possíveis: escolher 2 vértices entre 20, sem importar a ordem: \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190.
  2. Casos favoráveis: pares de vértices que formam uma aresta, isto é, o número de arestas: 30.
P = \frac{30}{190} = \frac{3}{19}

Observe que \frac{15}{190} seria a conta pela metade (usando 15 em vez de 30 favoráveis), e \frac{3}{19} é a fração simplificada correta.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem divide por 2 o número de arestas (ou conta 15 pares), já que 15/190 parece natural ao lado de 190.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 100 como total de casos, sem relação com \binom{20}{2}=190.
  • CUsa 15 casos favoráveis, metade do número real de arestas (30).
  • DFração sem base na contagem; não corresponde a 30/190.
  • EFração sem base na contagem; muito acima de 30/190.

Assuntos: poliedros de Platão, probabilidade, análise combinatória.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗