PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. Se a medida do ângulo agudo entre uma reta r e um plano \alpha é 45^\circ, então existe uma reta s contida em \alpha tal que a medida do ângulo agudo entre r e s é 30^\circ.

II. Se uma reta r é perpendicular a duas retas distintas s e t contidas em um plano \alpha, então r é perpendicular a \alpha.

III. Sejam r, s e t as três retas distintas determinadas por três pontos não colineares. Então, existe um único ponto equidistante de r, s e t.

IV. Se P e Q são pontos à mesma distância de um plano \alpha, então o ponto médio do segmento \overline{PQ} pertence a \alpha.

É(são) VERDADEIRA(S):

  1. A
    nenhuma.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas III e IV.
  5. E
    apenas II, III e IV.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Falsa. O ângulo entre uma reta r e um plano \alpha é o menor ângulo que r forma com qualquer reta de \alpha. Se esse mínimo vale 45^\circ, nenhuma reta de \alpha forma com r um ângulo menor que 45^\circ. Logo não existe s em \alpha com 30^\circ.

II. Falsa. Para r \perp \alpha, as retas s e t precisam ser concorrentes. Se s e t forem paralelas (distintas), r pode ser perpendicular às duas sem ser perpendicular ao plano. Por exemplo, s e t paralelas ao eixo x no plano xy e r paralela ao eixo y.

III. Falsa. As três retas são os lados de um triângulo. Os pontos do plano equidistantes das três retas são o incentro e os três exincentros, ou seja, 4 pontos. Além disso, pontos fora do plano do triângulo também podem ser equidistantes de r, s e t: os pontos da perpendicular ao plano pelo incentro. Portanto há infinitos pontos, não um único.

IV. Falsa. "À mesma distância" não obriga P e Q a estarem em lados opostos de \alpha. Se ambos estão do mesmo lado, o ponto médio de \overline{PQ} também fica desse lado, a essa mesma distância, e não pertence a \alpha.

Como as quatro afirmações são falsas, nenhuma é verdadeira.

Alternativa A.

Pegadinha: A afirmação II engana por omitir que as retas s e t devem ser concorrentes, e a IV por não excluir pontos do mesmo lado do plano.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConsidera I e II verdadeiras, mas I contradiz a definição de ângulo reta-plano (o mínimo) e II exige retas concorrentes.
  • CI é falsa e III também, pois há mais de um ponto equidistante (incentro, exincentros e pontos fora do plano).
  • DIII é falsa por haver vários pontos equidistantes e IV ignora que P e Q podem estar do mesmo lado do plano.
  • EII exige retas concorrentes, e III e IV são falsas pelos motivos acima.

Assuntos: geometria espacial de posição, perpendicularidade reta-plano, ângulo entre reta e plano.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗