PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja ABCD um quadrilátero convexo com diagonais AC e BD. Considere as afirmações:

I. Se as diagonais \overline{AC} e \overline{BD} têm mesmo comprimento e se intersectam ortogonalmente, então ABCD é um losango.

II. Se as diagonais \overline{AC} e \overline{BD} dividem o quadrilátero ABCD em quatro triângulos de mesma área, então ABCD é um paralelogramo.

III. Se o ponto de interseção das diagonais \overline{AC} e \overline{BD} é o centro do círculo que circunscreve o quadrilátero ABCD, então ABCD é um retângulo.

É(são) VERDADEIRA(S):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    apenas II e III.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação, procurando contraexemplos.

I. Diagonais de mesmo comprimento e perpendiculares não bastam para ser losango. Um losango precisa que as diagonais se cortem ao meio. Basta tomar duas diagonais de mesmo comprimento, perpendiculares, que se cruzam fora dos pontos médios: por exemplo, A=(-1,0), C=(3,0), B=(0,-2), D=(0,2). Aqui AC=4=BD, são ortogonais e o quadrilátero é convexo, mas não é losango (um "papagaio" com lados diferentes). Falsa.

II. Seja P a interseção das diagonais, e sejam a=PA, b=PB, c=PC, d=PD, com o mesmo ângulo \theta entre elas (ou seu suplemento, de mesmo seno). As áreas dos quatro triângulos são proporcionais a ab, bc, cd, da.

  1. ab=bc dá a=c.
  2. bc=cd dá b=d.

Logo P é ponto médio das duas diagonais, e o quadrilátero é um paralelogramo. Verdadeira.

III. Se P é o centro da circunferência circunscrita, então PA=PB=PC=PD=R. Assim, P é ponto médio de AC e de BD, que são diâmetros, e as diagonais têm o mesmo comprimento 2R. Um paralelogramo com diagonais iguais é um retângulo (também se vê porque os ângulos inscritos em semicircunferência são retos). Verdadeira.

Portanto, são verdadeiras II e III.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que diagonais iguais e perpendiculares bastam para ser losango, esquecendo que elas precisam se cortar ao meio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADiagonais iguais e perpendiculares não garantem losango, pois podem não se cruzar nos pontos médios.
  • BEsquece que a III também é verdadeira: diagonais que são diâmetros formam um retângulo.
  • CIgnora que a II é verdadeira, pois áreas iguais forçam PA=PC e PB=PD.
  • DConsidera a I verdadeira e deixa de fora a III.

Assuntos: quadriláteros, geometria plana, paralelogramo.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗