PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros em progressão aritmética de razão não nula, é igual a:

  1. A
    12.
  2. B
    14.
  3. C
    16.
  4. D
    18.
  5. E
    20.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se os lados estão em PA crescente de razão r\ge1 inteira, escreva-os como a-r,\ a,\ a+r. O perímetro é 3a=87, logo a=29. Os lados são 29-r,\ 29,\ 29+r, todos inteiros se r é inteiro.

Condições para existir o triângulo:

  1. O menor lado deve ser positivo: 29-r>0, ou seja, r<29.
  2. Desigualdade triangular: a soma dos dois menores deve superar o maior, então (29-r)+29>29+r, o que dá 29>2r, ou seja, r<14{,}5.

A segunda condição é mais restritiva e já garante a primeira. Como r é inteiro e positivo, r\in\{1,2,\dots,14\}, o que dá 14 valores.

Cada valor de r gera um triângulo com lados diferentes, então os triângulos são dois a dois não congruentes. Ao todo são 14.

(Observação: a razão poderia ser semi-inteira? Não: o termo do meio é 29, e os lados extremos 29\pm r precisam ser inteiros, então r é inteiro.)

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima o número de valores de r, parando em 12 em vez de ir até 14.
  • CExcede os valores possíveis de r; não respeita r<14{,}5.
  • DConta valores demais, ignorando a desigualdade triangular.
  • ETambém ignora a desigualdade triangular, contando r além de 14.

Assuntos: progressão aritmética, desigualdade triangular.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 49 no caderno 1ª fase do ITA 2021

Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗