PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

Um recipiente, de secção de área constante e igual a A, é preenchido por uma coluna de líquido de densidade \rho e altura H. Sobre o líquido encontra-se um pistão de massa M, que pode se deslocar verticalmente livre de atrito. Um furo no recipiente é feito a uma altura h, de tal forma que um filete de água é expelido conforme mostra a figura. Assinale a alternativa que contém o alcance horizontal D do jato de água.

Esquema de um recipiente com líquido de densidade e altura , coberto por um pistão de massa . Um furo na parede direita, à altura em relação à base, libera um jato que sai horizontalmente e descreve uma trajetória curva até atingir o nível da base. O alcance horizontal entre a parede e o ponto de chegada é indicado por . Uma seta vertical para baixo indica a aceleração da gravidade .

  1. A
    2\sqrt{(H-h)\left(h+\frac{m}{\rho A}\right)}
  2. B
    \sqrt{2h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}
  3. C
    2\sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}
  4. D
    2\sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{2\rho A}\right)}
  5. E
    \sqrt{h\left(H-h+\frac{m}{\rho A}\right)}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a equação de Bernoulli entre a superfície do líquido (sob o pistão) e o furo, e depois um lançamento horizontal.

Velocidade de saída. Na superfície do líquido, a pressão é a atmosférica mais a pressão do pistão, p_{atm}+\frac{Mg}{A}, e a velocidade é desprezível. No furo, a pressão é p_{atm} e a velocidade é v. A altura da superfície é H e a do furo é h.

p_{atm}+\frac{Mg}{A}+\rho g H=p_{atm}+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g h
v^2=2g\left(H-h+\frac{M}{\rho A}\right)

Queda do jato. O jato sai na horizontal, a altura h do chão. O tempo de queda vem de h=\frac{1}{2}gt^2, ou seja, t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.

Alcance.

D=vt=\sqrt{2g\left(H-h+\frac{M}{\rho A}\right)}\cdot\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h\left(H-h+\frac{M}{\rho A}\right)}

O g se cancela. As alternativas escrevem a massa do pistão como m, mas é a mesma massa M do enunciado.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atroca h por H-h dentro da raiz, como se a altura de queda fosse H-h e a carga fosse h.
  • Besquece o fator 2 que sobra do produto de \sqrt{2gX}\cdot\sqrt{2h/g}, que dá 2\sqrt{hX}.
  • Ddivide a pressão do pistão por 2, sem justificativa física.
  • Eperde o fator 2 e deixa a raiz sem o coeficiente correto.

Assuntos: equação de Bernoulli, hidrodinâmica, lançamento horizontal.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗