PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

Considere um sistema de três satélites idênticos de massa m dispostos nos vértices de um triângulo equilátero de lado d. Considerando somente o efeito gravitacional que cada um exerce sobre os demais, calcule a velocidade orbital dos satélites com respeito ao centro de massa do sistema para que a distância entre eles permaneça inalterada.

  1. A
    \sqrt{\frac{3Gm}{2d}}
  2. B
    \sqrt{\frac{Gm}{d}}
  3. C
    \sqrt{\frac{Gm}{2d}}
  4. D
    \sqrt{\frac{Gm}{3d}}
  5. E
    \sqrt{\frac{3Gm}{d}}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Os três satélites giram em torno do centro de massa, que no triângulo equilátero é o centro do triângulo. Para a distância entre eles não mudar, a força gravitacional resultante sobre cada um deve fazer o papel de força centrípeta.

  1. Raio da órbita: o centro de um triângulo equilátero de lado d está a R=\frac{d}{\sqrt{3}} de cada vértice.

  2. Força de cada um dos outros dois satélites sobre um deles: F=\frac{Gm^2}{d^2}. As duas forças formam 30^\circ com a direção que liga o satélite ao centro.

  3. Resultante, apontando para o centro:

    F_R=2F\cos 30^\circ=2\cdot\frac{Gm^2}{d^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\,Gm^2}{d^2}

  4. Igualando à força centrípeta:

    \frac{mv^2}{R}=\frac{\sqrt{3}\,Gm^2}{d^2}\Rightarrow v^2=\frac{\sqrt{3}\,Gm}{d^2}\cdot\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{Gm}{d}

  5. Portanto:

    v=\sqrt{\frac{Gm}{d}}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErro de fator numérico: não chega a v^2=Gm/d ao simplificar \sqrt{3} e usar o raio correto.
  • CUsa só metade da razão correta, como se a resultante fosse menor ou o raio, maior.
  • DDivide por 3 sem justificativa; ignora a composição vetorial das duas forças e o raio d/\sqrt{3}.
  • EMultiplica por 3, tratando a soma escalar de forças ou usando o raio errado.

Assuntos: gravitação, movimento circular, sistema de três corpos.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗