PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que

A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 0 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad A \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 3 \\ y + 1 & 1 \end{pmatrix}.

Então, o traço da matriz A é igual a:

  1. A
    0.
  2. B
    1.
  3. C
    2.
  4. D
    3.
  5. E
    4.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Chame M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} e N=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}. Note que N = M + J, com J=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}. Subtraindo as duas igualdades, AJ = AN - AM:

AJ=\begin{pmatrix} x-1 & 3-x\\ 1 & 1\end{pmatrix}

Se A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, então AJ=\begin{pmatrix}a+b&a+b\c+d&c+d\end{pmatrix}, com linhas de elementos iguais.

  1. Primeira linha: x-1=3-x, logo x=2 e a+b=1.
  2. Segunda linha: c+d=1.

Agora use AM com x=2:

AM=\begin{pmatrix}a+3b & 2a+4b\\ c+3d & 2c+4d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\y&0\end{pmatrix}
  1. a+3b=1 e a+b=1 dão b=0 e a=1. A outra entrada da linha, 2a+4b=2, confere.
  2. Segunda linha: 2c+4d=0, ou seja, c=-2d. Com c+d=1: -d=1, então d=-1 e c=2. Então y=c+3d=2-3=-1.

Confirmando com N: AN na posição (2,1) deve ser y+1=0. Calculando, 2c+4d... na verdade 2c+4d=4-4=0 ✓.

Traço: a+d=1+(-1)=0.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btoma apenas a=1 como traço, esquecendo que d=-1.
  • Cconfunde o traço com o valor de x ou de c, que é 2.
  • Dnão corresponde a nenhuma combinação válida de a e d.
  • Enão corresponde a nenhuma combinação válida de a e d.

Assuntos: matrizes, sistemas lineares, traço de matriz.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗