PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

A única solução real da equação

7^x = 59^{x-1}

pertence ao intervalo:

  1. A
    (0, \frac{2}{5}].
  2. B
    (\frac{2}{5}, \frac{4}{3}].
  3. C
    (\frac{4}{3}, \frac{5}{2}].
  4. D
    (\frac{5}{2}, \frac{10}{3}].
  5. E
    (\frac{10}{3}, 4].
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Resolução comentada

Como as duas potências têm bases diferentes e não dá para igualá-las, aplicamos logaritmo (na base 10) nos dois lados. Isso transforma o expoente em fator: \log a^b = b\log a.

  1. x\log 7 = (x-1)\log 59
  2. x\log 7 = x\log 59 - \log 59
  3. \log 59 = x(\log 59 - \log 7)
  4. x = \frac{\log 59}{\log 59 - \log 7} = \frac{\log 59}{\log\frac{59}{7}}

Agora estimamos com valores aproximados: \log 59 \approx 1{,}771 e \log 7 \approx 0{,}845.

  1. \log 59 - \log 7 \approx 0{,}926
  2. x \approx \dfrac{1{,}771}{0{,}926} \approx 1{,}91

Conferindo sem calculadora: 59/7 \approx 8{,}43, que fica entre 8 e 9, então \log\frac{59}{7} está entre 0{,}90 e 0{,}95. Já \log 59 está entre 1{,}77 e 1{,}78. Logo x está entre 1{,}77/0{,}95 \approx 1{,}86 e 1{,}78/0{,}90 \approx 1{,}98.

Como \frac{4}{3}\approx 1{,}33 e \frac{5}{2}=2{,}5, temos 1{,}33 < 1{,}91 \le 2{,}5.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito baixo; exigiria \log 59 menor que o necessário, não bate com x\approx1{,}9.
  • BO intervalo termina em 4/3\approx1{,}33, abaixo do valor real x\approx1{,}9.
  • DComeça em 2{,}5, acima de 1{,}9; seria resultado de erro na razão dos logaritmos.
  • EValores entre 3{,}33 e 4 estão muito acima do resultado correto.

Assuntos: equação exponencial, logaritmos.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗