Questão 46 do ITA 2021

Question

Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções f(x) = 2^x, g(x) = 2^{-x} e h(x) = \log_2 x, com x > 0. Para cada k > 0 seja n o número de interseções da reta y = kx com S. Podemos afirmar que:

A
n \neq 1 para todo k > 0.
B
n = 2 para pelo menos três valores distintos de k.
C
n = 2 para exatamente dois valores distintos de k.
D
n \neq 3 para todo k > 0.
E
O conjunto dos k > 0 para os quais n = 3 é a união de dois intervalos disjuntos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções f(x) = 2^x, g(x) = 2^{-x} e h(x) = \log_2 x, com x > 0. Para cada k > 0 seja n o número de interseções da reta y = kx com S. Podemos afirmar que:

A
n \neq 1 para todo k > 0.
B
n = 2 para pelo menos três valores distintos de k.
C
n = 2 para exatamente dois valores distintos de k.
D
n \neq 3 para todo k > 0.
E
O conjunto dos k > 0 para os quais n = 3 é a união de dois intervalos disjuntos.

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Resolução comentada

Só há pontos de S com x>0. A reta y=kx passa pela origem, então basta contar as soluções de cada equação separadamente.

Com g: 2^{-x}=kx equivale a \frac{2^{-x}}{x}=k. O lado esquerdo decresce de +\infty a 0, então há exatamente 1 interseção para todo k>0.
Com f: \frac{2^x}{x}=k. Esta função tem mínimo em x=\frac{1}{\ln 2}, de valor e\ln 2\approx1{,}88. Logo, há 0 pontos se k<e\ln2, 1 ponto se k=e\ln2 e 2 pontos se k>e\ln2.
Com h: \frac{\log_2 x}{x}=k. Esta função tem máximo em x=e, de valor \frac{1}{e\ln2}\approx0{,}53. Logo, há 0 pontos se k>\frac{1}{e\ln2}, 1 ponto se k=\frac{1}{e\ln2} e 2 pontos se 0<k<\frac{1}{e\ln2}.
Pontos em comum: f e h nunca se cruzam, pois 2^x>x>\log_2x. Já g e h se cruzam em um único ponto, com 1<x_0<2. A reta por esse ponto tem inclinação k_0<\frac{1}{e\ln2}, e nela f não aparece.

Contando os pontos distintos:

0<k<k_0 ou k_0<k<\frac{1}{e\ln2}: h dá 2 pontos e g dá 1, então n=3.
k=k_0: o ponto de g coincide com um de h, então n=2.
k=\frac{1}{e\ln2}: 1 ponto de h mais 1 de g, então n=2.
\frac{1}{e\ln2}<k<e\ln2: só g, então n=1.
k=e\ln2: n=2.
k>e\ln2: n=3.

Portanto n=2 para exatamente três valores de k: k_0, \frac{1}{e\ln2} e e\ln2.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que g e h se cruzam, o que gera um terceiro valor de k com n=2.

Por que as outras alternativas estão erradas

APara \frac{1}{e\ln2}<k<e\ln2 só g intercepta a reta, então n=1 ocorre.
CSão três valores, não dois: esquece o k_0 do cruzamento de g com h, em que dois pontos coincidem.
Dn=3 ocorre, por exemplo, para k pequeno e para k>e\ln2.
EO conjunto de k com n=3 é (0,k_0)\cup(k_0,\frac{1}{e\ln2})\cup(e\ln2,\infty), com três pedaços, não dois intervalos.

Assuntos: funções exponencial e logarítmica, interseção de gráficos, máximos e mínimos.

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Questão 46 no caderno 1ª fase do ITA 2021

Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗