PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere um triângulo ABC tal que m(\overline{AB}) = 14, \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{3}{5} e \cos\left(\widehat{ABC}\right) = \frac{5}{13}. Então, o raio da circunferência inscrita ao triângulo é igual a:

  1. A
    2.
  2. B
    2\sqrt{2}.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    4\sqrt{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro achamos os senos dos ângulos A e B a partir dos cossenos, usando \sen^2\theta+\cos^2\theta=1:

  • \sen A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}
  • \sen B=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}

O ângulo C vale 180^\circ-A-B, então \sen C=\sen(A+B)=\sen A\cos B+\sen B\cos A:

\sen C=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\cdot\frac{3}{5}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}

Lei dos senos: o lado AB=c=14 é oposto a C, então

2R=\frac{c}{\sen C}=\frac{14}{56/65}=\frac{65}{4}

Os outros lados são a=2R\sen A=\frac{65}{4}\cdot\frac{4}{5}=13 e b=2R\sen B=\frac{65}{4}\cdot\frac{12}{13}=15.

O triângulo tem lados 13, 14 e 15, com semiperímetro p=\frac{13+14+15}{2}=21.

Área pela fórmula de Heron:

S=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84

Como S=r\cdot p, temos r=\frac{84}{21}=4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o correto, sem relação com S/p=84/21.
  • BAparece de erro com raízes nos cálculos de área ou seno; o raio correto é inteiro.
  • CResulta de erro na área ou no semiperímetro, por exemplo usar S/28.
  • EValor com radical sem base; a área 84 e p=21 dão r=4.

Assuntos: lei dos senos, raio da circunferência inscrita, triângulo 13-14-15.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗