PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a curva plana definida pela equação 9x^2 + 4y^2 + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0, 0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da circunferência circunscrita ao retângulo é:

  1. A
    (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9.
  2. B
    (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 9.
  3. C
    (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13.
  4. D
    (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 13.
  5. E
    (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 13.
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Resolução comentada

Primeiro, completamos os quadrados para identificar a curva:

9(x^2+4x)+4(y^2+6y)+36=0

9(x+2)^2-36+4(y+3)^2-36+36=0

9(x+2)^2+4(y+3)^2=36 \Rightarrow \frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{9}=1

É uma elipse de centro C=(-2,-3), com semieixos a=2 (horizontal) e b=3 (vertical).

O retângulo circunscrito tem lados tangentes à elipse e um vértice em P=(0,0). Os vértices de um retângulo circunscrito a uma elipse ficam sobre a circunferência diretora, de mesmo centro da elipse e raio \sqrt{a^2+b^2}. Isso vem do fato de que o ponto de onde saem duas tangentes perpendiculares satisfaz (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=a^2+b^2.

Verificando com P: a distância de P ao centro é \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, e a^2+b^2=4+9=13. Confere: P está na circunferência diretora.

Como o retângulo está inscrito nessa circunferência (todos os vértices estão nela), ela é a circunferência circunscrita ao retângulo:

(x+2)^2+(y+3)^2=13

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa raio² = 9 (só b²) em vez de a²+b² = 13.
  • BTroca o centro (inverte as coordenadas) e usa raio² = 9, errado.
  • CCentro com sinais trocados, (2,3); o centro da elipse é (-2,-3).
  • ERaio correto, mas centro com coordenadas trocadas, (-3,-2).

Assuntos: elipse, circunferência diretora, cônicas.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗