PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os vértices da base de um triângulo isóceles PQR, inscrito numa circunferência de centro O = (5, 0), são P = (4, 2\sqrt{2}) e Q = (8, 0). Se o vértice R pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo PQR é igual a:

  1. A
    \sqrt{2}(3 - \sqrt{3}).
  2. B
    \sqrt{3}(3 + \sqrt{3}).
  3. C
    \sqrt{3}(3 - \sqrt{3}).
  4. D
    \sqrt{6}(3 + \sqrt{3}).
  5. E
    \sqrt{6}(3 - \sqrt{3}).
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Resolução comentada

Se O=(5,0) é o centro e Q=(8,0) está na circunferência, o raio é 3. Conferindo P: (4-5)^2+(2\sqrt2)^2=1+8=9, ok.

Como a base é \overline{PQ}, o vértice R equidista de P e Q, então R está na mediatriz de PQ, que passa por O. Ela cruza a circunferência em dois pontos, e escolhemos o do primeiro quadrante.

  1. Ponto médio de PQ: M=(6,\sqrt2).
  2. Vetor \overrightarrow{OM}=(1,\sqrt2), de módulo \sqrt3.
  3. Os pontos da circunferência na mediatriz são O\pm 3\cdot\dfrac{(1,\sqrt2)}{\sqrt3}. O do primeiro quadrante é R=O+\sqrt3(1,\sqrt2)=(5+\sqrt3,\sqrt6), que está no lado de M. O outro tem y<0.
  4. Base: PQ=\sqrt{16+8}=2\sqrt6.
  5. Altura: MR=|OR|-|OM|=3-\sqrt3, pois R está além de M na direção de O a R.

Área:

A=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt6\cdot(3-\sqrt3)=\sqrt6(3-\sqrt3)

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem pega o ponto oposto da mediatriz, com altura 3+\sqrt3, esquecendo que R deve estar no primeiro quadrante.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa fator \sqrt2 em vez de \sqrt6; erra a base ou não multiplica corretamente pela altura.
  • BUsa o outro ponto da mediatriz (altura 3+\sqrt3) e erra o fator da base.
  • CAltura correta, mas base errada (\sqrt3 em vez de \sqrt6 no fator).
  • DBase correta, mas usa a altura 3+\sqrt3, do ponto oposto da mediatriz (quarto quadrante).

Assuntos: geometria analítica, circunferência, área de triângulo.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗