PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja S \subset \mathbb{R} o conjunto solução da inequação (x^2 + x + 1)^{2x^2 - x - 1} \le 1. Podemos afirmar que:

  1. A
    S = [-1, 1].
  2. B
    S = \left[-1, -\frac{1}{2}\right].
  3. C
    S = [0, 1].
  4. D
    S = \left[-1, -\frac{1}{2}\right] \cup [0, 1].
  5. E
    S é o conjunto vazio.
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Resolução comentada

Chame a base de b = x^2+x+1 e o expoente de e = 2x^2-x-1. A base é sempre positiva, pois o discriminante é 1-4=-3<0. Assim, o sinal de b^e - 1 depende de b ser maior, igual ou menor que 1, e do sinal de e.

Primeiro, estude cada fator:

  • b = 1 \iff x^2+x=0 \iff x=0 ou x=-1.
  • b>1 \iff x<-1 ou x>0.
  • 0<b<1 \iff -1<x<0.
  • e=(2x+1)(x-1), então e\le 0 \iff -\tfrac12\le x\le 1 e e\ge 0 \iff x\le-\tfrac12 ou x\ge1.

Agora analise cada caso da inequação b^e\le 1:

  1. Se b=1, então 1^e=1 e a desigualdade vale. Isso dá x=-1 e x=0.
  2. Se b>1, a potência só é \le1 quando e\le0. Com x<-1 ou x>0 e -\tfrac12\le x\le1, resta 0<x\le1.
  3. Se 0<b<1, a potência só é \le1 quando e\ge0. Com -1<x<0 e x\le-\tfrac12, resta -1<x\le-\tfrac12.

Unindo os casos: S=\left[-1,-\tfrac12\right]\cup[0,1].

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que, para -\tfrac12<x<0, a base é menor que 1 e o expoente é negativo, o que dá potência maior que 1.
  • BEsquece o caso b>1 com expoente negativo, que dá o intervalo [0,1].
  • CEsquece o caso 0<b<1 com expoente positivo, que dá o intervalo [-1,-\tfrac12].
  • EO conjunto não é vazio: x=0 e x=-1 (base 1) já satisfazem a inequação.

Assuntos: inequação exponencial, base variável, inequação quadrática.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗