PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2021

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
\widehat{AOB} : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : medida do segmento \overline{AB}.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:

I. (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.

II. A comuta com qualquer matriz simétrica.

III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica.

IV. \det(AB) = 0.

É(são) VERDADEIRA(S):

  1. A
    nenhuma.
  2. B
    apenas I.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas IV.
  5. E
    apenas II e IV.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2. Isso só vira A^2+2AB+B^2 se AB=BA, o que não vale em geral. Por exemplo, com A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} e B antissimétrica com b_{12}=1, b_{21}=-1, temos AB\neq BA. Falsa.

II. Duas matrizes simétricas não precisam comutar. Se A e C são simétricas, (AC)^T = CA, então AC=CA só se AC for simétrica. Contraexemplo: \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} (a ordem ímpar não muda isso, basta completar com zeros). Falsa.

III. Se B e C são antissimétricas, (BC)^T = C^TB^T = (-C)(-B)=CB. Logo BC=CB só se BC for simétrica, o que não vale em geral. Exemplo com blocos 3\times3: B com b_{12}=1,b_{21}=-1 e C com c_{23}=1,c_{32}=-1 dá BC\neq CB. Falsa.

IV. Para B antissimétrica de ordem ímpar n: \det B=\det B^T=\det(-B)=(-1)^n\det B=-\det B. Então \det B=0 e \det(AB)=\det A\cdot\det B=0. Verdadeira.

Apenas a IV é verdadeira.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que a IV é verdadeira: toda antissimétrica de ordem ímpar tem determinante nulo.
  • Ba I exige AB = BA, que não vale em geral.
  • Cantissimétricas não comutam sempre; BC é antissimétrica ou simétrica só em casos particulares.
  • Ea II é falsa: matrizes simétricas só comutam quando o produto é simétrico.

Assuntos: matrizes simétricas e antissimétricas, determinante, produto de matrizes.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗