PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

Uma bola de gude de raio r e uma bola de basquete de raio R são lançadas contra uma parede com velocidade horizontal v e com seus centros a uma altura h. A bola de gude e a bola de basquete estão na iminência de contato entre si, assim como ambas contra a parede. Desprezando a duração de todas as colisões e quaisquer perdas de energia, calcule o deslocamento horizontal \Delta S da bolinha de gude ao atingir o solo.

Esquema de uma parede vertical e um solo horizontal. Uma bola de basquete de raio R está encostada na parede, e uma bola de gude de raio r está à sua direita, em contato com ela. Os centros das duas bolas estão à altura h em relação ao solo. Uma curva representa a trajetória da bola de gude até tocar o solo à direita. O deslocamento horizontal entre a posição inicial e a posição final da bola de gude está indicado por ΔS. Uma seta vertical para baixo indica o vetor g.

  1. A
    3v\sqrt{\dfrac{2(h-2r)}{g}}
  2. B
    3v\sqrt{\dfrac{2(h-r)}{g}}
  3. C
    v\sqrt{\dfrac{2(h-r)}{g}}
  4. D
    v\sqrt{\dfrac{2(h-2r)}{g}}
  5. E
    3v\sqrt{\dfrac{2(h-R-r)}{g}}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Este é o clássico "efeito estilingue" de colisões elásticas em sequência. Como as duas bolas têm a mesma velocidade horizontal v e estão a uma mesma altura, a trajetória é a mesma na vertical, então a ordem das colisões só depende do eixo horizontal.

O que ocorre:

  1. A bola de basquete (massa M\gg m) bate na parede de modo elástico e inverte a velocidade: passa a ter -v, isto é, volta com v em direção à bola de gude.

  2. A bola de gude, que ainda vai para a parede com v, colide elasticamente com a bola de basquete, que vem em sentido oposto com v. No referencial da bola grande (muito mais pesada, praticamente inalterada), a gude chega com velocidade relativa 2v e volta com 2v. Em relação ao solo: v_{gude}=2v+v=3v, afastando-se da parede.

  3. Como M\gg m, a velocidade da gude após o choque é 3v (limite de massa grande). Esse limite é o que torna o resultado igual a uma das alternativas.

  4. Queda: o centro da gude está a altura h, mas ela só toca o solo quando o centro está a altura r. Então a queda vale h-r:

h-r=\frac{g t^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2(h-r)}{g}}
  1. Deslocamento horizontal:
\Delta S=3v\,t=3v\sqrt{\frac{2(h-r)}{g}}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana por usar h-2r (esquece que o centro só desce até a altura r); C engana por esquecer o fator 3 da colisão.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa queda de h-2r, mas o centro da gude desce apenas h-r até tocar o solo.
  • Cignora o ganho de velocidade na colisão com a bola de basquete e usa v em vez de 3v.
  • Dmantém a velocidade v e usa altura de queda errada h-2r.
  • Esubtrai também R da altura, mas o raio da bola de basquete não interfere na queda da gude.

Assuntos: colisões elásticas, lançamento horizontal.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗