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Questão 14 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

Um cilindro condutor oco de comprimento muito longo, cuja secção transversal tem raio interno R/2 e raio externo R, é atravessado por uma densidade de corrente elétrica uniforme e paralela ao eixo do cilindro. Qual representação gráfica abaixo melhor descreve a intensidade do campo magnético |\vec{B}| como função da coordenada radial r a partir do eixo de simetria do sistema?

  1. A
    Gráfico de em função de , com marcações , e no eixo horizontal. O campo é nulo até , cresce em uma curva côncava para baixo até um máximo em e, a partir de , decresce em uma curva que se aproxima de zero. Uma linha vertical liga o máximo ao eixo horizontal em .
  2. B
    Gráfico de em função de , com marcações , e no eixo horizontal. O campo é nulo até , cresce em uma curva côncava para baixo até um máximo em e, a partir de , decresce em uma curva que se aproxima de uma linha horizontal situada acima de zero. Uma linha vertical liga o máximo ao eixo horizontal em .
  3. C
    Gráfico de em função de , com marcações , e no eixo horizontal. O campo é nulo até , apresenta um salto vertical para um valor positivo em , permanece constante até e, a partir de , decresce em uma curva que se aproxima de zero. Uma linha vertical liga o patamar ao eixo horizontal em .
  4. D
    Gráfico de em função de , com marcações , e no eixo horizontal. O campo é nulo até , apresenta um salto vertical para um valor positivo em , permanece constante até e, a partir de , decresce em uma curva que se aproxima de uma linha horizontal situada acima de zero. Uma linha vertical liga o patamar ao eixo horizontal em .
  5. E
    Gráfico de em função de , com marcações , e no eixo horizontal. O campo é nulo até , apresenta um salto vertical para um valor positivo em , cresce linearmente até um máximo em e, a partir de , decresce em uma curva que se aproxima de zero. Uma linha vertical liga o máximo ao eixo horizontal em .
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a lei de Ampère com uma circunferência de raio r centrada no eixo: B\cdot 2\pi r=\mu_0 I_{\text{int}}, em que I_{\text{int}} é a corrente que atravessa o disco de raio r. A densidade de corrente J é uniforme.

  1. Para r<R/2: não há corrente dentro da circunferência (é a parte oca), então I_{\text{int}}=0 e B=0.

  2. Para R/2<r<R: a corrente é a que passa pela coroa entre R/2 e r:

I_{\text{int}}=J\pi\left(r^2-\frac{R^2}{4}\right)\Rightarrow B=\frac{\mu_0 J}{2r}\left(r^2-\frac{R^2}{4}\right)=\frac{\mu_0 J}{2}\left(r-\frac{R^2}{4r}\right)

Em r=R/2 vale B=0, e B cresce de forma contínua (sem salto). A curva não é uma reta: o termo -R^2/(4r) faz o crescimento ser mais rápido no início e mais lento depois, ou seja, a curva é côncava para baixo.

  1. Para r>R: toda a corrente I está dentro, então B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}, que decresce como 1/r e tende a zero. O campo é contínuo em r=R, onde está o máximo.

Portanto o gráfico tem: zero até R/2, subida contínua com concavidade para baixo até R, e depois queda hiperbólica tendendo a zero. É o gráfico da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bfaz o campo cair para um valor constante não nulo longe do cilindro, mas B\propto 1/r tende a zero.
  • Cmostra salto em R/2 e campo constante na coroa, mas B começa em zero e cresce continuamente.
  • Dcombina o salto e o patamar constante errados com uma assíntota acima de zero.
  • Etem salto em R/2 e crescimento linear, mas B(R/2)=0 e o crescimento não é linear.

Assuntos: lei de Ampère, campo magnético de condutor cilíndrico.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗