PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Num ambiente controlado, o período de um pêndulo simples é medido a uma temperatura T. Sendo \alpha = 2 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1} o coeficiente de dilatação linear do fio do pêndulo, e considerando a aproximação binomial (1 + x)^n \approx 1 + nx, para |x| \ll 1, pode-se dizer que, com aumento de 10\ ^\circ\text{C}, o período do pêndulo

  1. A
    aumenta de 0{,}1\%.
  2. B
    aumenta de 0{,}05\%.
  3. C
    diminui de 0{,}1\%.
  4. D
    diminui de 0{,}05\%.
  5. E
    permanece inalterado.
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Resolução comentada

O período de um pêndulo simples é T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}, ou seja, depende do comprimento L do fio. Se a temperatura sobe, o fio dilata e L aumenta, então o período também aumenta.\n\nPassos:\n\n1. Dilatação linear do fio: L = L_0(1 + \alpha\,\Delta\theta).\n\n2. Com \alpha = 2\times10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1} e \Delta\theta = 10\ ^\circ\text{C}: \alpha\,\Delta\theta = 2\times10^{-3}, logo L = L_0(1 + 2\times10^{-3}).\n\n3. Novo período: T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L_0(1+2\times10^{-3})}{g}} = T_0\,(1+2\times10^{-3})^{1/2}.\n\n4. Aproximação binomial, com x = 2\times10^{-3} e n = \tfrac12: (1+x)^{1/2} \approx 1 + \dfrac{x}{2} = 1 + 1\times10^{-3}.\n\n5. Assim, T \approx T_0(1 + 0{,}001), isto é, aumento de 0{,}1\%.\n\nO fator \tfrac12 vem da raiz quadrada: a variação relativa do período é metade da variação relativa do comprimento (0{,}2\% de aumento em L resulta em 0{,}1\% em T).\n\nAlternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem inverte o sentido, esquecendo que a dilatação aumenta L; a B pega quem erra o fator da raiz.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDivide por 2 duas vezes, ou erra a conta do fator \alpha\,\Delta\theta, chegando a 0{,}05\%.
  • CDiz que o período diminui, mas o fio dilata, L aumenta e o período aumenta.
  • DAlém de indicar diminuição, o valor 0{,}05\% está errado.
  • EIgnora que o período depende de L, que varia com a temperatura.

Assuntos: pêndulo simples, dilatação linear, aproximação binomial.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗