PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Ao redor de um cilindro de massa m, raio a e comprimento b, são enroladas simétrica e longitudinalmente N espiras. Estas são dispostas paralelamente a um plano inclinado onde se encontra um cilindro, que não desliza devido ao atrito com a superfície do plano. Considerando a existência de um campo magnético uniforme e vertical \vec{B} na região, assinale a intensidade da corrente i que deve circular nas espiras para que o conjunto permaneça em repouso na posição indicada pela figura.

Diagrama de um cilindro de massa m e raio a apoiado sobre um plano inclinado que desce para a direita, formando um ângulo θ com a horizontal. N espiras são representadas por linhas paralelas que atravessam diagonalmente o cilindro, paralelas ao plano. Dois fios à esquerda indicam a corrente i, com a seta do fio superior voltada para a esquerda e a do inferior para a direita. O campo magnético vetorial B é indicado por quatro setas verticais para cima sob o plano, e a aceleração vetorial g por uma seta vertical para baixo à direita.

  1. A
    \dfrac{mg}{2bB}.
  2. B
    \dfrac{Nmg}{2aB}.
  3. C
    \dfrac{Nmg}{bB}.
  4. D
    \dfrac{mg}{2aBN}.
  5. E
    \dfrac{mg}{2bBN}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Este é o clássico problema da bobina sobre plano inclinado: o equilíbrio de rotação é calculado em torno do ponto de contato com o plano, pois ali agem a normal e o atrito, que não geram torque.

Torque do peso. O peso mg atua no centro do cilindro. O braço de alavanca é a distância horizontal entre o centro e o ponto de contato, ou seja, a\,\sen\theta:

\tau_P = mg\,a\,\sen\theta

Torque magnético. As espiras formam uma bobina plana, paralela ao plano inclinado, com N voltas. Sua área é A = 2a\cdot b (largura 2a, comprimento b). O momento de dipolo vale:

\mu = N\,i\,A = N\,i\,2ab

O vetor \vec\mu é perpendicular ao plano da bobina, logo forma com \vec B (vertical) um ângulo cujo seno é \sen(90^\circ-\theta)=\cos\theta ou, equivalentemente, o ângulo entre o plano da bobina e \vec B é 90^\circ-\theta. Assim:

\tau_B = \mu B\cos\theta = 2NiabB\cos\theta

Equilíbrio. Igualando os torques em módulo:

2NiabB\cos\theta = mga\,\sen\theta

Isso daria dependência de \tg\theta, o que não aparece nas alternativas. Ao reexaminar, o torque do peso em relação ao eixo de contato é mg\,a\,\sen\theta e o torque magnético, medido na mesma direção, também fica proporcional a \sen\theta: o ângulo entre \vec\mu e \vec B é \theta (a normal ao plano inclinado forma \theta com a vertical). Então:

\tau_B = 2NiabB\,\sen\theta
2NiabB\,\sen\theta = mga\,\sen\theta \Rightarrow i=\frac{mg}{2NbB}

O \sen\theta e o a se cancelam.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aesquece o fator N, tratando as espiras como uma só.
  • Bcoloca N no numerador e a no denominador, invertendo a dependência real.
  • Cpõe N no numerador e esquece o fator 2 da área 2ab.
  • Dmantém a no resultado, mas ele se cancela, e usa b de modo incorreto.

Assuntos: torque magnético, equilíbrio de corpo rígido, espira em campo magnético.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗