PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n \times n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L \in M(3, 1) e R \in M(4, 2), a probabilidade de que L^2 = 0 e R^2 = 0 é igual a

  1. A
    \dfrac{1}{3}.
  2. B
    \dfrac{1}{5}.
  3. C
    \dfrac{4}{15}.
  4. D
    \dfrac{13}{30}.
  5. E
    \dfrac{29}{30}.
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Resolução comentada

Matriz L. Em M(3,1) há 9 matrizes, cada uma com um único 1 na posição (a,b), ou seja, L=E_{ab}. Como E_{ab}E_{ab}=E_{ab} se a=b e 0 se a\neq b, vale L^2=0 quando o 1 está fora da diagonal. São 6 posições em 9, então P(L^2=0)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.

Matriz R. Em M(4,2) há \binom{16}{2}=120 matrizes. Escreva R=E_{ab}+E_{cd}, com posições distintas. Então

R^2=\delta_{ab}E_{ab}+\delta_{bc}E_{ad}+\delta_{da}E_{cb}+\delta_{cd}E_{cd}.

Todos os termos são não negativos, então não há cancelamento. Para R^2=0 é preciso ter a\neq b, c\neq d, b\neq c e d\neq a.

Contamos os pares ordenados de posições fora da diagonal, que são 12 posições:

  1. Pares ordenados distintos: 12\cdot 11=132.
  2. Com b=c: 12\cdot 3=36, pois d\neq b dá 3 escolhas.
  3. Com d=a: também 36.
  4. Com b=c e d=a ao mesmo tempo: 12.
  5. Pares ruins: 36+36-12=60.
  6. Pares bons: 132-60=72 ordenados, ou seja, 36 não ordenados.

Assim, P(R^2=0)=\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}.

Resultado. As escolhas são independentes, então

\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{5}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só a probabilidade de L (ou R mal contada), sem combinar corretamente as duas matrizes.
  • CContagem errada dos pares de R, esquecendo a condição cruzada d\neq a ou a interseção.
  • DSubtrai casos de menos em R, deixando passar pares com R^2\neq 0.
  • EConsidera quase todas as matrizes válidas, ignorando a condição de nilpotência.

Assuntos: probabilidade, matrizes, produto de matrizes.

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Ver como caiu na prova Questão 55 no caderno 1ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗