PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. Sejam \pi_1, \pi_2 e \pi_3 três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r \cap s \neq \varnothing então r \cap s \cap t \neq \varnothing.

II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano \pi são duas retas paralelas.

III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    nenhuma.
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Resolução comentada

I. Digamos que \pi_1\cap\pi_2=r, \pi_2\cap\pi_3=s e \pi_1\cap\pi_3=t (a distribuição dos nomes não altera o argumento). Se r\cap s tem um ponto P, então P está em \pi_1 e \pi_2 (por estar em r) e em \pi_2 e \pi_3 (por estar em s). Logo P pertence aos três planos e, portanto, a \pi_1\cap\pi_3=t. Assim r\cap s\cap t\neq\varnothing. Verdadeira.

II. Se as retas paralelas r e s forem perpendiculares ao plano \pi, as projeções ortogonais não são retas: cada uma é um ponto. Dois pontos não são duas retas paralelas. A afirmação não vale para quaisquer retas paralelas. Falsa.

III. Tome r e a direção dela. Por cada ponto de s passa uma reta paralela a r; essas retas formam um plano \alpha (contendo s e paralelo a r). A reta t encontra \alpha em um ponto Q, a menos que t seja paralela a \alpha. Se t for paralela a \alpha, não existe a reta u. Exemplo: r é o eixo x, s é a reta z=1,\ y=0 no plano y=0... e t é a reta z=2,\ x=0; mas isso precisa de t paralela ao plano que contém s e tem a direção de r, isto é, o plano z=1. A reta t: z=2, x=0 é paralela a esse plano e é reversa a r e s. Qualquer reta paralela a r que encontra s está em z=1 e nunca encontra t (que está em z=2). Logo a afirmação falha. Falsa.

Apenas I é verdadeira.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece o caso em que as retas paralelas são perpendiculares ao plano, e a projeção vira dois pontos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BIgnora que retas paralelas perpendiculares ao plano se projetam em pontos, e não em retas.
  • CInclui a II, que é falsa no caso de retas perpendiculares ao plano de projeção.
  • DInclui a III, que falha quando t é paralela ao plano formado por s e pela direção de r.
  • EA afirmação I é verdadeira: o ponto comum a r e s pertence aos três planos.

Assuntos: geometria espacial de posição, projeção ortogonal, retas reversas.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗