PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.

II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160^\circ.

III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    apenas II e III.
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Resolução comentada

Use a soma dos ângulos das faces: para poliedro convexo, vale S=(V-2)\cdot 360^\circ. Use também a relação de Euler, V-A+F=2, que vale para poliedros convexos (e para os eulerianos).

I. Com 16 faces quadrangulares, A=\dfrac{16\cdot 4}{2}=32. Se o poliedro fosse convexo (ou euleriano), V=2+A-F=2+32-16=18. Mas o enunciado diz "todo poliedro", e existem poliedros não convexos que não satisfazem Euler (por exemplo, com buraco, como um toro). Um poliedro toroidal de faces quadrangulares tem V-A+F=0, logo V=16 com 16 faces e 32 arestas. Isso é possível (um "anel" de 16 quadriláteros). Portanto a afirmação I é falsa.

II. Para poliedro convexo com F=10 e A=16: V=2+16-10=8. A soma dos ângulos de todas as faces é (8-2)\cdot 360^\circ=2160^\circ. Verdadeira.

III. Com F=15, A=22, V=9: V-A+F=9-22+15=2, então Euler é satisfeito. Mas cada vértice tem pelo menos 3 arestas, logo 2A\ge 3V: 44\ge 27, ok. Cada face tem pelo menos 3 arestas, logo 2A\ge 3F: 44\ge 45 é falso. Não existe tal poliedro. Falsa.

Apenas a II é verdadeira.

Alternativa B.

Pegadinha: A afirmação III engana por satisfazer a relação de Euler; falha porque 15 faces exigem pelo menos 23 arestas. A I engana pelo "todo poliedro".

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aaplica Euler a todo poliedro, mas poliedros não convexos (como o toroidal) podem ter V-A+F\neq 2.
  • Csó verifica Euler (9-22+15=2) e esquece que 2A\ge 3F falha, pois 44<45.
  • Dinclui a I, que é falsa por "todo poliedro" incluir os não eulerianos.
  • Einclui a III, que viola 2A\ge 3F.

Assuntos: poliedros, relação de Euler.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗