PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Dado a \in \mathbb{R}, defina p = a + a^2 e q = a + a^3 e considere as seguintes afirmações:

I. se p ou q é irracional, então a é irracional.

II. se p e q são racionais, então a é racional.

III. se q é irracional, então p é irracional.

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. A contrapositiva é: se a é racional, então p e q são racionais. Isso é verdade, pois soma e produto de racionais são racionais: p=a+a^2 e q=a+a^3 são racionais. Logo, I é verdadeira.

II. Suponha p=a+a^2 e q=a+a^3 racionais. Note que q-p=a^3-a^2=a^2(a-1) e p=a(a+1).

Tentamos mostrar que a é racional. Seja a raiz comum dos polinômios x^2+x-p e x^3+x-q com coeficientes racionais. O polinômio mínimo de a sobre \mathbb{Q} divide ambos, e divide o primeiro, que tem grau 2. Se a fosse irracional, o mínimo seria x^2+x-p (irredutível), e então ele dividiria x^3+x-q.

Dividindo: x^3+x-q=(x^2+x-p)(x-1)+(p+1)x+p-q. O resto (p+1)x+(p-q) deve ser nulo, logo p=-1 e q=p=-1. Mas p=-1 dá a^2+a+1=0, sem raiz real. Contradição, então a é racional. II é verdadeira.

III. Procuramos a com q irracional e p racional. Tome a com a^2+a=p racional, por exemplo p=0 e a=-1 ou 0 (racionais, não serve). Tome p=1: a=\frac{-1+\sqrt5}{2}, então a^2=1-a e a^3=a-a^2=a-(1-a)=2a-1. Assim q=a+2a-1=3a-1, irracional, mas p=1 é racional. Contraexemplo, III é falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que II é verdadeira: se p e q são racionais, o resto da divisão polinomial força a racional.
  • Bignora que I é verdadeira, pois é a contrapositiva de 'a racional implica p e q racionais'.
  • Dconsidera III verdadeira, mas a=\frac{-1+\sqrt5}{2} dá p=1 racional e q=3a-1 irracional.
  • Einclui III, que tem contraexemplo.

Assuntos: números racionais e irracionais, polinômios, lógica.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗