PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância d desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de v_p para v_e e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior a. Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão v_e/v_p é dada por

  1. A
    \sqrt{\frac{d}{a} - \frac{1}{2}}.
  2. B
    \sqrt{\frac{d}{2a}}.
  3. C
    \sqrt{1 - \frac{d}{2a}}.
  4. D
    \sqrt{1 + \frac{d}{2a}}.
  5. E
    \sqrt{1 - \frac{d}{a}}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Use a conservação da energia mecânica no campo gravitacional. A energia total por unidade de massa do satélite é \varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r}.

  1. Trajetória parabólica: a energia total é nula. Na distância d:

    \frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{d} = 0 \Rightarrow v_p^2 = \frac{2GM}{d}

  2. Trajetória elíptica de semieixo maior a: a energia total vale -\frac{GM}{2a}. Na mesma distância d, logo após o acionamento dos propulsores:

    \frac{v_e^2}{2} - \frac{GM}{d} = -\frac{GM}{2a} \Rightarrow v_e^2 = 2GM\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{2a}\right)

  3. Razão entre os quadrados:

    \frac{v_e^2}{v_p^2} = \frac{2GM\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{2a}\right)}{\frac{2GM}{d}} = 1 - \frac{d}{2a}

  4. Tirando a raiz:

    \frac{v_e}{v_p} = \sqrt{1 - \frac{d}{2a}}

Faz sentido: a elipse é órbita ligada, com energia negativa, então o satélite precisa ficar mais lento que na parábola, e a razão é menor que 1.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de dividir por v_p^2 corretamente e obtém d/a - 1/2, que não é a razão 1 - d/2a.
  • BConsidera apenas o termo de d/2a e perde o termo 1, ignorando a energia nula da parábola.
  • DTroca o sinal da energia da elipse, somando d/2a em vez de subtrair.
  • EUsa -GM/a como energia da elipse, em vez de -GM/2a.

Assuntos: energia da órbita, leis de Kepler, gravitação.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno 1ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗