PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o polinômio p(x) = x^3 - mx^2 + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb^2 + nb - 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a

  1. A
    6.
  2. B
    7.
  3. C
    8.
  4. D
    9.
  5. E
    10.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Toda raiz real tem b=0, então a condição vira a=-1. Como p tem coeficientes reais e grau 3, ele tem ao menos uma raiz real, e essa raiz só pode ser -1.

  1. Substituindo x=-1: -1-m-1+5+n=0, logo n=m-3.

  2. As outras duas raízes: se fossem reais, também seriam -1, e então p=(x+1)^3, que tem coeficiente de x igual a 3, não 1. Isso é impossível. Logo elas são complexas conjugadas, a\pm bi, com b\neq 0.

  3. Os dois valores b e -b devem satisfazer a=mb^2+nb-1. Subtraindo as duas igualdades, 2nb=0, então n=0 e, portanto, m=3.

  4. Com m=3 e n=0: p(x)=x^3-3x^2+x+5=(x+1)(x^2-4x+5). As raízes são -1 e 2\pm i. Conferindo a condição: a=2 e 3\cdot1-1=2 ✓.

  5. Soma dos quadrados:

    (-1)^2+(2+i)^2+(2-i)^2=1+(3+4i)+(3-4i)=7.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra ao calcular (2\pm i)^2 ou ao somar os termos, chegando a um valor menor que o correto.
  • CValor maior que o correto, sem relação com as raízes -1 e 2\pm i.
  • DValor maior que o correto, sem relação com as raízes -1 e 2\pm i.
  • EValor maior que o correto, sem relação com as raízes -1 e 2\pm i.

Assuntos: polinômios, raízes complexas, relações de Girard.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗