PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Duas curvas planas c_1 e c_2 são definidas pelas equações

\begin{aligned} c_1 \quad : \quad & 16x^2 + 9y^2 - 224x - 72y + 640 = 0, \\ c_2 \quad : \quad & x^2 + y^2 + 4x - 10y + 13 = 0. \end{aligned}

Sejam P e Q os pontos de interseção de c_1 com o eixo x e R e S os pontos de interseção de c_2 com o eixo y. A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a

  1. A
    15 + 7\sqrt{3}.
  2. B
    15 - 7\sqrt{3}.
  3. C
    15 + 14\sqrt{3}.
  4. D
    15 - 14\sqrt{3}.
  5. E
    25 + 10\sqrt{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Pontos P e Q. Em c_1, fazemos y=0:

16x^2 - 224x + 640 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 40 = 0

As raízes são x=4 e x=10. Logo P(4,0) e Q(10,0), e \overline{PQ}=6.

Pontos R e S. Em c_2, fazemos x=0:

y^2 - 10y + 13 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{10 \pm \sqrt{100-52}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{3}

Logo R(0,\,5+2\sqrt3) e S(0,\,5-2\sqrt3), e \overline{RS}=4\sqrt3.

Área. Os pontos P e Q estão no eixo x e R e S no eixo y, com 5-2\sqrt3\approx1{,}54>0. Então S e R estão acima de x, e o quadrilátero convexo na ordem P, Q, R, S é formado por vértices em lados opostos dos eixos. As diagonais \overline{PQ} e \overline{RS} precisam se cruzar para o quadrilátero ser convexo; elas se cruzam apenas se o segmento RS (em x=0) cruzar PQ, o que não ocorre, pois P e Q têm abscissas positivas. Portanto, os quatro pontos formam um quadrilátero com P,Q em x>0 e R,S em x=0.

Usando a fórmula do cordão (ordem S, P, Q, R):

S(0,5-2\sqrt3), P(4,0), Q(10,0), R(0,5+2\sqrt3).

Soma de x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i:

  1. S\to P: 0\cdot0 - 4(5-2\sqrt3) = -20+8\sqrt3
  2. P\to Q: 0
  3. Q\to R: 10(5+2\sqrt3) - 0 = 50+20\sqrt3
  4. R\to S: 0

Total: 30+28\sqrt3. Área =\dfrac{30+28\sqrt3}{2}=15+14\sqrt3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula metade da área correta, dividindo por 2 duas vezes o termo com raiz.
  • BTroca o sinal do termo com raiz, subtraindo em vez de somar.
  • DSubtrai 14\sqrt3 por erro de sinal, resultado inclusive negativo.
  • ENão corresponde a nenhuma combinação correta das coordenadas dos pontos.

Assuntos: cônicas, área de quadrilátero, circunferência.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗