PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral a_n é dado por

a_n = \frac{\cos n + i \cdot \sen n}{2^n}, \ n = 1, 2, 3, \dots

é igual a

  1. A
    \frac{-1 + 2 \cos 1}{5 - 4 \cos 1}.
  2. B
    \frac{-2 + 4 \cos 1}{5 - 4 \cos 1}.
  3. C
    \frac{4 - 2 \cos 1}{5 - 4 \cos 1}.
  4. D
    \frac{1 + 2 \cos 1}{5 - 4 \cos 1}.
  5. E
    \frac{2 + 4 \cos 1}{5 - 4 \cos 1}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Escrevendo z = \cos 1 + i\,\sen 1, a fórmula de De Moivre dá z^n = \cos n + i\,\sen n. Então a_n = \left(\frac{z}{2}\right)^n, uma PG de primeiro termo a_1 = \frac{z}{2} e razão q = \frac{z}{2}.

Como |q| = \frac{1}{2} < 1, a soma infinita existe:

S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{z/2}{1 - z/2} = \frac{z}{2 - z}

Para achar a parte real, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Com c = \cos 1 e s = \sen 1, temos 2 - z = (2 - c) - is, e o conjugado é (2 - c) + is.

  1. Denominador: (2-c)^2 + s^2 = 4 - 4c + c^2 + s^2 = 5 - 4c.
  2. Numerador: (c + is)\big((2-c) + is\big) = c(2-c) - s^2 + i\,[cs + s(2-c)].
  3. Parte real do numerador: 2c - c^2 - s^2 = 2c - 1.

Logo:

\text{Re}(S) = \frac{-1 + 2\cos 1}{5 - 4\cos 1}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDobra o numerador, como se a parte real fosse 2(2c-1), sem correspondência com o cálculo.
  • CNumerador sem relação com 2c-1; resulta de erro ao multiplicar pelo conjugado.
  • DTroca o sinal de -1, esquecendo que c^2+s^2=1 é subtraído de 2c.
  • EErra o sinal e dobra o numerador, sem corresponder ao cálculo.

Assuntos: soma de PG infinita, números complexos, fórmula de De Moivre.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 43 no caderno 1ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗