PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam a, b e c números reais, a \neq 0, tais que a^2 + b^2 = c^2. Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a

  1. A
    P = 1 e S = 0.
  2. B
    P = -1 e S = 1.
  3. C
    P = -1 e S = -1.
  4. D
    P = \dfrac{-(1 + \sqrt{5})}{2} e S = 0.
  5. E
    P = \dfrac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} e S = 0.
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Resolução comentada

Numa PG de razão k com primeiro termo a \neq 0, temos b = ak e c = ak^2.

Substituindo na relação a^2 + b^2 = c^2:

  1. a^2 + a^2k^2 = a^2k^4
  2. Como a \neq 0, dividimos por a^2: 1 + k^2 = k^4
  3. Chamando t = k^2, fica t^2 - t - 1 = 0, de onde t = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Como t = k^2 não pode ser negativo, descartamos t = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}, que é negativo. Sobra k^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Assim, os valores reais possíveis de k são k = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}.

Soma: S = 0, pois os valores são opostos.

Produto: P = \left(\sqrt{\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)\cdot\left(-\sqrt{\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\right) = -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Logo P = \dfrac{-(1+\sqrt{5})}{2} e S = 0.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana ao dar P = k^2, positivo, esquecendo que o produto de dois valores opostos de k é -k^2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que k = \pm 1, mas k = 1 não satisfaz 1 + k^2 = k^4; o produto P=1 está errado.
  • BNão resolve corretamente a equação biquadrada; os valores de k não são \pm 1 nem dão soma 1.
  • CSoma -1 ignora que as raízes reais de k vêm em pares opostos, então S = 0.
  • EEsquece o sinal: o produto de k por -k é -k^2, negativo, e não k^2.

Assuntos: progressão geométrica, equação biquadrada.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗