PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 e x_6 números reais tais que 2^{x_1} = 4; 3^{x_2} = 5; 4^{x_3} = 6; 5^{x_4} = 7; 6^{x_5} = 8 e 7^{x_6} = 9. Então, o produto x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 é igual a

  1. A
    6.
  2. B
    8.
  3. C
    10.
  4. D
    12.
  5. E
    14.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a definição de logaritmo: a^x = b \Rightarrow x = \log_a b. Então:

x_1=\log_2 4, x_2=\log_3 5, x_3=\log_4 6, x_4=\log_5 7, x_5=\log_6 8, x_6=\log_7 9.

O produto fica:

x_1x_2x_3x_4x_5x_6=\log_2 4\cdot\log_3 5\cdot\log_4 6\cdot\log_5 7\cdot\log_6 8\cdot\log_7 9

Agora mudamos tudo para a base 10 (ou qualquer base comum), usando \log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}:

\frac{\log 4}{\log 2}\cdot\frac{\log 5}{\log 3}\cdot\frac{\log 6}{\log 4}\cdot\frac{\log 7}{\log 5}\cdot\frac{\log 8}{\log 6}\cdot\frac{\log 9}{\log 7}

O produto é telescópico: cada numerador cancela com um denominador.

  1. \log 4 cancela com \log 4.
  2. \log 5 cancela com \log 5.
  3. \log 6 cancela com \log 6.
  4. \log 7 cancela com \log 7.

Sobram \log 8 e \log 9 no numerador, e \log 2 e \log 3 no denominador:

\frac{\log 8\cdot\log 9}{\log 2\cdot\log 3}=\frac{3\log 2\cdot 2\log 3}{\log 2\cdot\log 3}=3\cdot 2=6

Portanto, o produto vale 6.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConsidera só \log_2 8 = 3 ou outro cancelamento parcial, errando o resultado final.
  • CNão corresponde ao telescópio; resulta de erro no cancelamento das bases.
  • DMultiplica \log 8 e \log 9 por fatores errados (por exemplo, 4\cdot 3).
  • EValor sem relação com o cancelamento; ignora que \log 8=3\log 2 e \log 9=2\log 3.

Assuntos: logaritmos, mudança de base, produto telescópico.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗