PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do ITA 2020

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10\ \text{m/s}^2.

Três esferas idênticas de massa m, carga elétrica Q e dimensões desprezíveis, são presas a extremidades de fios isolantes e inextensíveis de comprimento l. As demais pontas dos fios são fixadas a um ponto P, que sustenta as massas. Na condição de equilíbrio do sistema, verifica-se que o ângulo entre um dos fios e a direção vertical é \theta, conforme mostra a figura. Sendo \varepsilon_0 a permissividade elétrica do meio, o valor da carga elétrica Q é dada por

Três esferas, cada uma identificada por massa m e carga Q, suspensas por fios a partir do ponto P. Uma linha vertical tracejada passa por P. O fio à direita tem comprimento l e forma um ângulo θ com a vertical. Uma seta vertical para baixo indica o vetor aceleração da gravidade g.

  1. A
    l\sqrt{12\pi\varepsilon_0mg\,\sen\theta\cos\theta}.
  2. B
    l\sqrt{4\pi\varepsilon_0mg\,\tg\theta\sqrt{3}}.
  3. C
    l\sen\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0mg\,\tg\theta\sqrt{3}}.
  4. D
    l\sen\theta\sqrt{\dfrac{4\pi\varepsilon_0mg\,\tg\theta}{\sqrt{3}}}.
  5. E
    l\sen\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0mg\,\tg\theta}.
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Resolução comentada

As três esferas ficam nos vértices de um triângulo equilátero horizontal, com o centro na vertical que passa por P. Cada fio forma o ângulo \theta com essa vertical.

  1. Raio da circunferência que contém as esferas: r = l\,\sen\theta.

  2. Lado do triângulo equilátero inscrito, que é a distância entre duas esferas: d = r\sqrt{3} = l\sqrt{3}\,\sen\theta.

  3. Cada esfera sofre repulsão das outras duas, com módulo F = \dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}. Os dois ângulos entre cada força e a direção radial valem 30^\circ, então a resultante horizontal, radial e para fora, é:

    F_R = 2F\cos 30^\circ = F\sqrt{3}

  4. Equilíbrio de uma esfera: a tração T tem componente vertical T\cos\theta = mg e componente horizontal T\sen\theta = F_R. Dividindo uma pela outra:

    \tg\theta = \frac{F_R}{mg} \Rightarrow F_R = mg\,\tg\theta

  5. Igualando:

    \sqrt{3}\,\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0\, 3\, l^2\sen^2\theta} = mg\,\tg\theta

    Q^2 = \frac{4\pi\varepsilon_0\, 3\, l^2\sen^2\theta\; mg\,\tg\theta}{\sqrt{3}} = 4\pi\varepsilon_0\, mg\,\tg\theta\,\sqrt{3}\; l^2\sen^2\theta

  6. Logo:

    Q = l\,\sen\theta\sqrt{4\pi\varepsilon_0\, mg\,\tg\theta\,\sqrt{3}}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece o fator \sen\theta fora da raiz e a expressão interna não corresponde ao resultado.
  • BUsa l em vez do raio l\sen\theta na geometria, omitindo o \sen\theta fora da raiz.
  • DDivide por \sqrt{3} em vez de multiplicar, errando a simplificação de 3/\sqrt{3}.
  • EOmite o fator \sqrt{3}, tratando a força resultante como se não houvesse a soma vetorial das duas repulsões.

Assuntos: lei de Coulomb, equilíbrio de forças, geometria do triângulo equilátero.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗