Questão 6 do ITA 2019

Question

Uma barra rígida, homogênea, fina e de comprimento l, é presa a uma corda horizontal sem massa e toca a quina de uma superfície horizontal livre de atrito, fazendo um ângulo \theta como mostra a figura. Considerando a barra em equilíbrio, assinale a opção correta para o valor da razão d/l, em que d é a distância da quina ao centro de gravidade (CG) da barra.

Barra rígida de comprimento l inclinada de um ângulo θ sobre a quina de uma superfície horizontal e presa à direita por uma corda horizontal conectada a uma parede vertical. A distância entre a quina e o centro de gravidade CG é indicada por d.

A
\dfrac{\tg^2\theta}{2}
B
\dfrac{\cos^2\theta}{4}
C
\dfrac{\sen^2\theta}{4}
D
\dfrac{\cos^2\theta}{2}
E
\dfrac{\sen^2\theta}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do ITA 2019

1ª fase · Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Uma barra rígida, homogênea, fina e de comprimento l, é presa a uma corda horizontal sem massa e toca a quina de uma superfície horizontal livre de atrito, fazendo um ângulo \theta como mostra a figura. Considerando a barra em equilíbrio, assinale a opção correta para o valor da razão d/l, em que d é a distância da quina ao centro de gravidade (CG) da barra.

Barra rígida de comprimento l inclinada de um ângulo θ sobre a quina de uma superfície horizontal e presa à direita por uma corda horizontal conectada a uma parede vertical. A distância entre a quina e o centro de gravidade CG é indicada por d.

A
\dfrac{\tg^2\theta}{2}
B
\dfrac{\cos^2\theta}{4}
C
\dfrac{\sen^2\theta}{4}
D
\dfrac{\cos^2\theta}{2}
E
\dfrac{\sen^2\theta}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como a superfície é sem atrito, a força que a quina exerce sobre a barra é perpendicular à barra. As outras forças são o peso P (vertical, no CG) e a tração T (horizontal, na ponta superior). Para o equilíbrio, as três forças devem ser concorrentes ou calcular o torque em relação à quina.

A barra tem comprimento l e o CG está a l/2 da ponta superior. A quina está a uma distância d do CG, abaixo dele. Então a ponta superior está a l/2 - d da quina, ao longo da barra.

Torques em relação à quina (onde a normal N não faz torque):

Peso: braço horizontal d\cos\theta, pois o CG está a d da quina ao longo da barra. Torque = P\,d\cos\theta.
Tração horizontal, aplicada na ponta superior, a (l/2-d) da quina. Seu braço é a componente vertical dessa distância: (l/2-d)\sen\theta. Torque = T\,(l/2-d)\sen\theta.

Equilíbrio de forças: a normal N é perpendicular à barra, com componentes N\sen\theta na horizontal e N\cos\theta na vertical.

Vertical: N\cos\theta = P.
Horizontal: T = N\sen\theta = P\tg\theta.

Igualando os torques:

P\,d\cos\theta = P\tg\theta\,(l/2-d)\sen\theta

d\cos\theta = \frac{\sen^2\theta}{\cos\theta}\left(\frac{l}{2}-d\right)

d\cos^2\theta = \sen^2\theta\left(\frac{l}{2}-d\right)

d(\cos^2\theta+\sen^2\theta)=\frac{l}{2}\sen^2\theta \Rightarrow \frac{d}{l}=\frac{\sen^2\theta}{2}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aaparece de uma conta errada com a tangente; o resultado correto vem de \cos^2\theta+\sen^2\theta=1, sem tangente.
Busa o cosseno ao quadrado e um fator 4, que não surgem do equilíbrio de torques.
Ctem a função certa, mas o fator 4 em vez de 2 vem de erro no braço de alavanca.
Dtroca seno por cosseno, confundindo o braço de alavanca da tração.

Assunto: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Questão 6 no caderno 1ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗