PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2019

1ª fase · Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Considere um corpo celeste esférico e homogêneo de massa M e raio R atravessado de polo a polo por um túnel cilíndrico retilíneo de diâmetro desprezível. Em um desses polos um objeto pontual é solto a partir do repouso no instante t = 0. Sendo G a constante universal de gravitação, esse objeto vai alcançar o outro polo após o intervalo de tempo dado por

  1. A
    \left(\dfrac{R^3}{GM}\right)^{1/2}.
  2. B
    \pi \left(\dfrac{R^3}{GM}\right)^{1/2}.
  3. C
    \left(\dfrac{4R^3}{3GM}\right)^{1/2}.
  4. D
    2\pi \left(\dfrac{R^3}{GM}\right)^{1/2}.
  5. E
    2\pi \left(\dfrac{4R^3}{3GM}\right)^{1/2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Dentro de uma esfera homogênea, só a massa contida na esfera de raio r atrai o objeto (teorema das cascas). Essa massa é M\frac{r^3}{R^3}.

  1. Força a uma distância r do centro:

    F = \frac{G\,m\,M_{int}}{r^2} = \frac{G\,m\,M\,r}{R^3}

  2. Essa força é restauradora e proporcional a r, como a de uma mola, F = -kr, com

    k = \frac{GMm}{R^3}

  3. Logo o objeto executa um movimento harmônico simples, com período

    T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}

  4. O objeto parte do repouso em um polo, ou seja, da amplitude máxima x=R. Ir de um polo ao outro corresponde a meio ciclo de oscilação (de +R a -R):

    t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}

O resultado não depende da massa do objeto.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa o período completo T em vez de meio período, já que a travessia vai de um polo ao outro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOmite o fator \pi; não corresponde nem a meio período nem a um quarto de período do MHS.
  • CUsa um fator 4/3 sem justificativa, como se a densidade ou o volume fossem tratados incorretamente.
  • DDá o período completo, mas o objeto só faz meia oscilação até o outro polo.
  • ECombina o período completo com o fator 4/3 indevido.

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗