Questão 2 do ITA 2019

Question

Considere duas partículas de massa m, cada qual presa numa das pontas de uma corda, de comprimento l e massa desprezível, que atravessa um orifício de uma mesa horizontal lisa. Conforme mostra a figura, a partícula sobre a mesa descreve um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular \omega_1. A partícula suspensa também descreve esse mesmo tipo de movimento, mas com velocidade angular \omega_2, estando presa a uma mola de constante elástica k e comprimento natural desprezível, mantida na horizontal. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e \theta o ângulo do trecho suspenso da corda com a vertical, a razão (\omega_2/\omega_1)^2 é dada por

$Duas partículas de massa m ligadas por uma corda através do orifício de uma mesa horizontal: a partícula superior descreve trajetória circular de raio r com velocidade angular $\omega_1$ sobre o tampo; a partícula inferior descreve trajetória circular com velocidade angular $\omega_2$, sustentada pela corda inclinada de um ângulo $\theta$ em relação à vertical e ligada ao eixo vertical por uma mola horizontal de constante k.$

A
\dfrac{r[mg + k(l - r) \cos \theta]}{mg(l - r)}.
B
\dfrac{(l - r)(mg + kr \cos \theta)}{mgr \sen \theta}.
C
\dfrac{(l - r)(mg + kr \tg \theta)}{kr^2}.
D
\dfrac{k(l - r) \cos \theta}{mg + kr}.
E
\dfrac{(l - r)k \cos \theta}{mg + k(l - r) \cos \theta}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ITA 2019

1ª fase · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Considere duas partículas de massa m, cada qual presa numa das pontas de uma corda, de comprimento l e massa desprezível, que atravessa um orifício de uma mesa horizontal lisa. Conforme mostra a figura, a partícula sobre a mesa descreve um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular \omega_1. A partícula suspensa também descreve esse mesmo tipo de movimento, mas com velocidade angular \omega_2, estando presa a uma mola de constante elástica k e comprimento natural desprezível, mantida na horizontal. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e \theta o ângulo do trecho suspenso da corda com a vertical, a razão (\omega_2/\omega_1)^2 é dada por

$Duas partículas de massa m ligadas por uma corda através do orifício de uma mesa horizontal: a partícula superior descreve trajetória circular de raio r com velocidade angular $\omega_1$ sobre o tampo; a partícula inferior descreve trajetória circular com velocidade angular $\omega_2$, sustentada pela corda inclinada de um ângulo $\theta$ em relação à vertical e ligada ao eixo vertical por uma mola horizontal de constante k.$

A
\dfrac{r[mg + k(l - r) \cos \theta]}{mg(l - r)}.
B
\dfrac{(l - r)(mg + kr \cos \theta)}{mgr \sen \theta}.
C
\dfrac{(l - r)(mg + kr \tg \theta)}{kr^2}.
D
\dfrac{k(l - r) \cos \theta}{mg + kr}.
E
\dfrac{(l - r)k \cos \theta}{mg + k(l - r) \cos \theta}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos usar a tração T da corda, que é a mesma nos dois lados (corda ideal, mesa lisa).

Partícula sobre a mesa: a única força horizontal é a tração, que faz o papel de força centrípeta:

T = m\omega_1^2 r

Partícula suspensa: o trecho suspenso da corda mede l - r e forma \theta com a vertical. Ela gira em um círculo horizontal de raio R = (l-r)\sen\theta. A mola tem comprimento natural desprezível e está presa ao eixo, então seu alongamento é R e a força elástica é kR, apontando para o eixo.

A tração puxa a partícula para cima e para o orifício. Assim:

Vertical: T\cos\theta = mg
Horizontal (centrípeta): T\sen\theta + kR = m\omega_2^2 R

A figura mostra o ângulo \theta entre a corda e a vertical, e o raio do círculo de baixo é R=(l-r)\sen\theta.

Da vertical: T = mg/\cos\theta. Então \omega_1^2 = \dfrac{T}{mr} = \dfrac{g}{r\cos\theta}.

Da horizontal: m\omega_2^2 R = mg\tg\theta + kR, e dividindo por mR:

\omega_2^2 = \frac{g\tg\theta}{R} + \frac{k}{m} = \frac{g}{(l-r)\cos\theta} + \frac{k}{m}

Razão:

\frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = \left[\frac{mg + k(l-r)\cos\theta}{m(l-r)\cos\theta}\right]\cdot\frac{r\cos\theta}{g} = \frac{r[mg + k(l-r)\cos\theta]}{mg(l-r)}

Isso coincide com a alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa o raio errado e mistura kr e \sen\theta; não corresponde a nenhuma equação do movimento.
CUsa kr\tg\theta e kr^2 no denominador, sem relação com a dinâmica do corpo suspenso.
DOmite o fator r/(mg(l-r)) e confunde o alongamento da mola com r.
ETem o termo da mola, mas inverte a estrutura da razão e perde o fator r.

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Força elástica e lei de Hooke.

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Questão 2 no caderno 1ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗