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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Velocidade média e movimento uniforme

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Os pontos no gráfico indicam a velocidade instantânea, quilômetro a quilômetro, de um carro em movimento retilíneo. Por sua vez, o computador de bordo do carro calcula a velocidade média dos últimos 9\text{ km} por ele percorridos. Então, a curva que melhor representa a velocidade média indicada no computador de bordo entre os quilômetros 11 e 20 é

Gráfico cartesiano mostrando a velocidade em km/h no eixo vertical (de 0 a 100) versus a distância em km no eixo horizontal (de 0 a 20). Pontos pretos indicam a velocidade instantânea: constante em 10 km/h do km 0 ao 11, e aumentando linearmente de 10 km/h no km 11 até 100 km/h no km 20. Do ponto correspondente ao km 11 partem cinco curvas candidatas: uma tracejada que termina em 70 km/h, uma pontilhada que termina em 70 km/h, uma contínua que termina em 70 km/h, uma tracejada que termina abaixo de 50 km/h (aproximadamente em 39 km/h) e uma contínua que termina abaixo de 50 km/h (também em aproximadamente 39 km/h).

  1. A
    a tracejada que termina acima de 50\text{ km/h}.
  2. B
    a cheia que termina acima de 50\text{ km/h}.
  3. C
    a tracejada que termina abaixo de 50\text{ km/h}.
  4. D
    a pontilhada.
  5. E
    a cheia que termina abaixo de 50\text{ km/h}.
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Resolução comentada

O computador calcula a velocidade média dos últimos 9 km. Como a velocidade é dada quilômetro a quilômetro, a leitura é a média aritmética dos pontos do gráfico (valores por km), e não uma média no tempo. Vamos usar essa leitura, que é a do gabarito oficial da prova.

No km 20, a janela cobre do km 11 ao km 20. As velocidades são 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100 km/h nos km 11 a 20. Os últimos 9 km são os trechos entre os pontos 11-12, ..., 19-20.

O ponto-chave é que a velocidade média é a razão entre distância e tempo, ou seja, uma média harmônica das velocidades em cada km, já que cada km é percorrido com velocidade diferente:

v_m=\frac{9}{\sum \frac{1}{v_i}}

Tomando a velocidade de cada trecho como a do ponto final (20, 30, ..., 100 km/h):

\sum \frac{1}{v_i}=\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}+\frac{1}{50}+\frac{1}{60}+\frac{1}{70}+\frac{1}{80}+\frac{1}{90}+\frac{1}{100}\approx 0{,}0500+0{,}0333+0{,}0250+0{,}0200+0{,}0167+0{,}0143+0{,}0125+0{,}0111+0{,}0100=0{,}2429
v_m\approx\frac{9}{0{,}2429}\approx 37\text{ km/h}

O valor fica abaixo de 50 km/h, bem diferente dos 70 km/h da média aritmética. Como os 9 km anteriores ao km 11 estavam a 10 km/h, a média sobe devagar no começo (fica mais perto de 10) e acelera depois, o que dá uma curva côncava para cima (cheia), terminando perto de 39 km/h. A tracejada abaixo de 50 tem concavidade para baixo, o que não corresponde ao ganho lento no início.

Alternativa E.

Pegadinha: As curvas que terminam em 70 km/h correspondem à média aritmética das velocidades, erro comum; a média correta é a harmônica, pois cada km leva tempo diferente.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATermina em 70 km/h, valor da média aritmética, ignorando que o tempo gasto em cada km é maior nas velocidades baixas.
  • BTambém termina em 70 km/h; usa a média aritmética em vez da harmônica.
  • CTermina perto de 39 km/h, mas tem concavidade para baixo, sobe rápido no início, o que não ocorre com a média harmônica.
  • DA pontilhada termina em 70 km/h, valor incompatível com a média por tempo.

Assunto: Velocidade média e movimento uniforme.

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Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗