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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB = 3\text{ cm}, BC = 7\text{ cm} e CA = 8\text{ cm}. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado \overline{AB} no ponto N e o lado \overline{CA} no ponto K. Então, o comprimento do segmento \overline{NK}, em cm, é

  1. A
    2.
  2. B
    2\sqrt{2}.
  3. C
    3.
  4. D
    2\sqrt{3}.
  5. E
    \dfrac{7}{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a propriedade das tangentes: os dois segmentos de tangente traçados de um mesmo ponto externo à circunferência são iguais. Assim, AN = AK = x (a partir de A), BN = BM = y e CK = CM = z, sendo M o ponto de tangência em BC.

Montando o sistema com os lados:

  1. x + y = 3
  2. y + z = 7
  3. x + z = 8

Somando as três: 2(x+y+z) = 18, então x+y+z = 9. Logo x = 9 - 7 = 2.

Portanto AN = AK = 2\ \text{cm}, e o triângulo ANK é isósceles com vértice em A.

Para achar NK, precisamos do ângulo \hat{A}. Pela lei dos cossenos no triângulo ABC:

7^2 = 3^2 + 8^2 - 2\cdot 3\cdot 8\cos\hat{A}
49 = 73 - 48\cos\hat{A} \Rightarrow \cos\hat{A} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}

Então \hat{A} = 60^\circ.

No triângulo ANK, com dois lados iguais a 2 e ângulo de 60^\circ entre eles, ele é equilátero (os outros dois ângulos somam 120^\circ e são iguais, logo valem 60^\circ). Assim NK = 2\ \text{cm}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado de usar um ângulo de 90° em A no triângulo isósceles, sem calcular o ângulo pela lei dos cossenos.
  • CConfunde NK com o lado AB=3 ou com BN, sem achar as tangentes corretas.
  • DSeria o valor se \hat{A} fosse 120°, ou seja, erro de sinal no cosseno.
  • EValor sem justificativa geométrica, relacionado ao lado 7 dividido por 2.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗