Questão 19 (Física) do ITA 2018

Question

Um pêndulo simples de massa m e haste rígida de comprimento h é articulado em torno de um ponto e solto de uma posição vertical, conforme a Figura 1. Devido à gravidade, o pêndulo gira atingindo uma membrana ligada a um tubo aberto em uma das extremidades, de comprimento L e área da seção transversal S (Figura 2). Após a colisão de reduzida duração, \Delta t, o pêndulo recua atingindo um ângulo máximo \theta (Figura 3). Sejam \rho a densidade de equilíbrio do ar e c a velocidade do som. Supondo que energia tenha sido transferida somente para a harmônica fundamental da onda sonora plana no tubo, assinale a opção com a amplitude da oscilação das partículas do ar.

Figura 1: Pêndulo de comprimento h e massa m em posição vertical superior, articulado acima da extremidade direita de um tubo de comprimento L, com trajetória de queda indicada por linha tracejada.
Figura 2: Pêndulo na vertical atingindo a membrana na extremidade direita do tubo.
Figura 3: Pêndulo recuando até um ângulo máximo θ após a colisão na extremidade do tubo.

A
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}
B
\frac{L}{c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho SL}}
C
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho SL}}
D
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}
E
\frac{L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Um pêndulo simples de massa m e haste rígida de comprimento h é articulado em torno de um ponto e solto de uma posição vertical, conforme a Figura 1. Devido à gravidade, o pêndulo gira atingindo uma membrana ligada a um tubo aberto em uma das extremidades, de comprimento L e área da seção transversal S (Figura 2). Após a colisão de reduzida duração, \Delta t, o pêndulo recua atingindo um ângulo máximo \theta (Figura 3). Sejam \rho a densidade de equilíbrio do ar e c a velocidade do som. Supondo que energia tenha sido transferida somente para a harmônica fundamental da onda sonora plana no tubo, assinale a opção com a amplitude da oscilação das partículas do ar.

Figura 1: Pêndulo de comprimento h e massa m em posição vertical superior, articulado acima da extremidade direita de um tubo de comprimento L, com trajetória de queda indicada por linha tracejada.
Figura 2: Pêndulo na vertical atingindo a membrana na extremidade direita do tubo.
Figura 3: Pêndulo recuando até um ângulo máximo θ após a colisão na extremidade do tubo.

A
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}
B
\frac{L}{c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho SL}}
C
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos \theta)}{\rho SL}}
D
\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}
E
\frac{L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos \theta)}{\rho Sc\Delta t}}

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Resolução comentada

A ideia é calcular a energia que o pêndulo transferiu ao ar e igualá-la à energia da onda sonora no tubo.

Antes da colisão: o pêndulo parte do topo e desce 2h. Logo, E_1 = mg\cdot 2h, e a energia cinética na base é 2mgh.
Depois da colisão: o pêndulo sobe até o ângulo \theta medido a partir da posição de menor altura, então a altura é h(1-\cos\theta) e E_2 = mgh(1-\cos\theta).
Energia transferida: E = 2mgh - mgh(1-\cos\theta) = mgh(1+\cos\theta).
Energia da onda: para uma onda plana de amplitude A e frequência angular \omega, a intensidade é I = \tfrac12\rho c\,\omega^2A^2. A energia que atravessa a área S durante \Delta t é E = I S\Delta t = \tfrac12\rho c S\Delta t\,\omega^2A^2.
Harmônica fundamental: o tubo é aberto numa ponta e fechado pela membrana na outra, então \lambda = 4L. Assim f = \dfrac{c}{4L} e \omega = 2\pi f = \dfrac{\pi c}{2L}.
Isolando A:

mgh(1+\cos\theta)=\tfrac12\rho cS\Delta t\,\frac{\pi^2c^2}{4L^2}A^2

A=\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1+\cos\theta)}{\rho S c\Delta t}}

Esse resultado coincide com a alternativa A.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e E usam 1-\cos\theta, que seria a energia de subida; a energia transferida é a diferença entre 2mgh e essa energia, o que dá 1+\cos\theta.

Por que as outras alternativas estão erradas

BTroca c\Delta t por L no denominador e omite o fator 2/\pi da frequência da fundamental.
CTroca c\Delta t por L no denominador, o que contraria a definição de intensidade como energia por área e por tempo.
DUsa 1-\cos\theta, que é só a altura de subida; esquece a energia 2mgh do pêndulo antes do choque.
EUsa 1-\cos\theta e o fator L/(\pi c) em vez de 2L/(\pi c).

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Energia mecânica e sua conservação, Ondas sonoras e acústica.

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Questão 19 no caderno Física do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗