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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por

  1. A
    2\pi \sqrt{\dfrac{L^3}{Gm}\left(\dfrac{4 - \sqrt{2}}{2}\right)}.
  2. B
    \dfrac{4\pi}{3}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}L^3}{3Gm}}.
  3. C
    \sqrt{\dfrac{L^3}{Gm}\left(\dfrac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)}.
  4. D
    2\pi \sqrt{\dfrac{L^3}{Gm}\left(\dfrac{4 - \sqrt{2}}{7}\right)}.
  5. E
    \sqrt{\dfrac{L^3}{Gm}\left(\dfrac{4 + \sqrt{2}}{2}\right)}.
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Resolução comentada

Cada corpo gira numa circunferência de raio r = \dfrac{L\sqrt{2}}{2} (metade da diagonal). A força resultante sobre um corpo aponta para o centro e faz o papel de força centrípeta.

Forças sobre um corpo, com os outros três:

  1. Dois vizinhos a distância L: cada um puxa com \dfrac{Gm^2}{L^2}. Esses puxões são perpendiculares entre si, e cada um forma 45^\circ com a direção do centro. A componente de cada um em direção ao centro é \dfrac{Gm^2}{L^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}. As duas somam \dfrac{Gm^2\sqrt{2}}{L^2}.

  2. O corpo oposto, a distância L\sqrt{2}, puxa direto para o centro com \dfrac{Gm^2}{2L^2}.

Resultante:

F=\frac{Gm^2}{L^2}\left(\sqrt{2}+\frac12\right)=\frac{Gm^2}{L^2}\cdot\frac{2\sqrt{2}+1}{2}

Igualando a m\omega^2 r, com r=\dfrac{L\sqrt{2}}{2}:

m\omega^2\frac{L\sqrt{2}}{2}=\frac{Gm^2}{L^2}\cdot\frac{2\sqrt{2}+1}{2}

\omega^2=\frac{Gm}{L^3}\cdot\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}=\frac{Gm}{L^3}\cdot\frac{4+\sqrt{2}}{2}

O período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}:

T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm}\cdot\frac{2}{4+\sqrt{2}}}

Racionalizando: \dfrac{2}{4+\sqrt2}=\dfrac{2(4-\sqrt2)}{14}=\dfrac{4-\sqrt2}{7}.

T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm}\left(\frac{4-\sqrt{2}}{7}\right)}

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas A, C e E ficam com a forma de 1/\omega^2 não invertida ou sem racionalizar; é preciso inverter \omega^2 e racionalizar para chegar ao fator (4-\sqrt2)/7.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem denominador 2 em vez de 7: não inverteu nem racionalizou \omega^2 corretamente.
  • BExpressão sem relação com a soma das três forças; não corresponde ao resultado do cálculo.
  • CFalta o fator 2\pi e o sinal em 4+\sqrt2 está errado, pois não inverteu \omega^2.
  • EDá \omega^{-1} trocado por \omega e sem 2\pi: usa \omega^2 no lugar de T^2.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗