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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Força elétrica e lei de Coulomb

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Considere quatro cargas fixadas sobre o eixo x orientado para a direita. Duas delas, -q_1 e +q_1, separadas por uma distância a_1, formam o sistema 1 e as outras duas, -q_2 e +q_2, separadas por uma distância a_2, formam o sistema 2. Considerando que ambos os sistemas estão separados por uma distância r muito maior que a_1 e a_2, conforme a figura, e que (1+z)^{-2} \simeq 1-2z+3z^2 para z \ll 1, a força exercida pelo sistema 1 sobre o sistema 2 é

Diagrama de quatro cargas sobre o eixo horizontal x, orientado para a direita. Da esquerda para a direita estão as cargas −q₁, +q₁, −q₂ e +q₂. A distância entre −q₁ e +q₁ é a₁, entre −q₂ e +q₂ é a₂ e entre +q₁ e −q₂ é r.

  1. A
    \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}.
  2. B
    -\dfrac{2}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}.
  3. C
    -\dfrac{2}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2a_1a_2}{r^4}.
  4. D
    -\dfrac{6}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2a_1a_2}{r^4}.
  5. E
    \dfrac{8}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2a_1a_2}{r^4}.
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Resolução comentada

Cada sistema é um dipolo. Vamos somar as quatro forças de Coulomb entre as cargas de um sistema e as do outro, e depois expandir para r \gg a_1, a_2.

Posições no eixo x: -q_1 em -a_1, +q_1 em 0, -q_2 em r, +q_2 em r+a_2.

Distâncias entre as cargas:

  • +q_1 e -q_2: r
  • +q_1 e +q_2: r+a_2
  • -q_1 e -q_2: r+a_1
  • -q_1 e +q_2: r+a_1+a_2

Força sobre o sistema 2, positiva para a direita (repulsão entre cargas de mesmo sinal empurra o sistema 2 para a direita):

F=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\left[-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{(r+a_2)^2}+\frac{1}{(r+a_1)^2}-\frac{1}{(r+a_1+a_2)^2}\right]

Usando (1+z)^{-2}\simeq 1-2z+3z^2, com z=a/r, cada termo vira \frac{1}{r^2}(1-2z+3z^2). Chamando x=a_1/r e y=a_2/r:

  • Termos de ordem 0: -1+1+1-1=0.
  • Termos de ordem 1: -2y-2x+2(x+y)=0.
  • Termos de ordem 2: 3y^2+3x^2-3(x+y)^2=-6xy.

Logo:

F=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}(-6xy)=-\frac{6}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2a_1a_2}{r^4}

O sinal negativo indica atração entre os dipolos, o que faz sentido: +q_1 e -q_2 são as cargas mais próximas e se atraem.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só a interação Coulomb de uma carga de cada sistema, sem somar as quatro; ignora que os termos de ordem zero se cancelam.
  • BNão cancela os termos de ordem 0 e dá dependência 1/r^2, que não existe para dois dipolos neutros.
  • CErra o coeficiente da expansão: o termo de segunda ordem soma -6xy, não -2xy.
  • ECoeficiente e sinal errados; a força entre os dipolos nessa configuração é atrativa.

Assunto: Força elétrica e lei de Coulomb.

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Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗