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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o triângulo ABC, em que os segmentos \overline{AC}, \overline{CB} e \overline{AB} medem, respectivamente, 10\text{ cm}, 15\text{ cm} e 20\text{ cm}. Seja D um ponto do segmento \overline{AB} de tal modo que \overline{CD} é bissetriz do ângulo A\hat{C}B e seja E um ponto do prolongamento de \overline{CD}, na direção de D, tal que D\hat{B}E = D\hat{C}B. A medida, em \text{cm}, de \overline{CE} é

  1. A
    \frac{11\sqrt{6}}{3}.
  2. B
    \frac{13\sqrt{6}}{3}.
  3. C
    \frac{17\sqrt{6}}{3}.
  4. D
    \frac{20\sqrt{6}}{3}.
  5. E
    \frac{25\sqrt{6}}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use o teorema da bissetriz interna e a semelhança de triângulos.

  1. Bissetriz: \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}. Como AD+DB=20, temos AD=8 e DB=12.

  2. Comprimento da bissetriz CD: CD^2=AC\cdot CB-AD\cdot DB=10\cdot15-8\cdot12=150-96=54, logo CD=3\sqrt6.

  3. Semelhança: sendo \hat{DBE}=\hat{DCB} e \hat{BDE}=\hat{CDB} (mesmo ângulo, pois E está na reta CD), os triângulos DBE e DCB são semelhantes. Isso dá \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}, ou seja, DE=\frac{DB^2}{DC}.

  4. Cálculo: DE=\frac{144}{3\sqrt6}=\frac{48}{\sqrt6}=8\sqrt6.

  5. Então CE=CD+DE=3\sqrt6+8\sqrt6=11\sqrt6.

Conferindo com outra via: \hat{ACE}=\hat{DCB}=\hat{DBE} e \hat{AEC} coincide com \hat{BEC} no ponto E, mas essa via não fecha diretamente. Reviso a semelhança correta: \hat{DBE}=\hat{DCB} e o ângulo em D é o ângulo oposto pelo vértice? E está na reta CD além de D, então \hat{BDE} é suplementar de \hat{CDB}, e a semelhança anterior não vale.

Correção: o ângulo \hat{DCB}=\hat{ACD} e \hat{DBE}=\hat{ACD}. Logo \hat{ACE}=\hat{ABE} e A,C,B,E são concíclicos. Pelo teorema das cordas que se cruzam em D: CD\cdot DE=AD\cdot DB=8\cdot12=96.

Assim DE=\frac{96}{3\sqrt6}=\frac{32}{\sqrt6}=\frac{32\sqrt6}{6}=\frac{16\sqrt6}{3}.

Portanto CE=3\sqrt6+\frac{16\sqrt6}{3}=\frac{9\sqrt6+16\sqrt6}{3}=\frac{25\sqrt6}{3}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as medidas obtidas; não resulta da potência do ponto D.
  • BNão corresponde a CD+DE com CD=3\sqrt6 e DE=16\sqrt6/3.
  • CErro de conta ao somar CD e DE; não é o valor correto.
  • DResulta de erro na conta de DE ou de usar medida errada para CD.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗