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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) do ITA 2017

Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Conversão de unidade: 1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}. Massa específica da água: 1\text{g/cm}^3. Massa da Terra: 6{,}0 \times 10^{24}\text{kg}. Raio da Terra: 6{,}4 \times 10^6\text{m}. Constante de Boltzman: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{J/K}. Constante dos gases: R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Massa atômica de alguns elementos químicos: \text{M}_\text{C} = 12\text{ u}, \text{M}_\text{O} = 16\text{ u}, \text{M}_\text{N} = 14\text{ u}, \text{M}_{\text{Ar}} = 40\text{ u}, \text{M}_{\text{Ne}} = 20\text{ u}, \text{M}_{\text{He}} = 4\text{ u}. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}. Massa específica do mercúrio: 13{,}6\text{ g/cm}^3. Permeabilidade magnética do vácuo: 4\pi \times 10^{-7}\text{ Tm/A}. Constante de Gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}m^3/\text{kg.s}^2.

Um bastão rígido e uniforme, de comprimento L, toca os pinos P e Q fixados numa parede vertical, interdistantes de a, conforme a figura. O coeficiente de atrito entre cada pino e o bastão é \mu, e o ângulo deste com a horizontal é \alpha. Assinale a condição em que se torna possível o equilíbrio estático do bastão.

Bastão uniforme de comprimento L inclinado de um ângulo alfa em relação à horizontal, apoiado entre os pinos P e Q, que estão separados por uma distância a ao longo da direção do bastão.

  1. A
    L \ge a(1 + \tan \alpha/\mu)
  2. B
    L \ge a(-1 + \tan \alpha/\mu)
  3. C
    L \ge a(1 + \tan \alpha/2\mu)
  4. D
    L \ge a(-1 + \tan \alpha/2\mu)
  5. E
    L \ge a(1 + \tan \alpha/\mu)/2
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Resolução comentada

O peso mg atua no centro do bastão, a uma distância L/2 de P. As forças normais são perpendiculares ao bastão: N_P aponta para baixo e para a direita, enquanto N_Q aponta no sentido oposto. O atrito atua ao longo do bastão, impedindo seu deslizamento para baixo.

  1. Tomando os momentos em relação a P, os atritos não produzem torque, pois atuam na direção do bastão. Assim:

    N_Qa=mg\cos\alpha\,\frac{L}{2} \quad\Rightarrow\quad N_Q=\frac{mgL\cos\alpha}{2a}.

  2. Pelo equilíbrio das forças perpendiculares ao bastão:

    N_Q-N_P=mg\cos\alpha.

    Logo, a soma das intensidades das normais é
    N_P+N_Q=2N_Q-mg\cos\alpha =mg\cos\alpha\left(\frac{L}{a}-1\right).

  3. Na direção do bastão, os atritos precisam equilibrar a componente mg\sen\alpha do peso. Como cada atrito estático pode atingir, no máximo, \mu N, a condição é

    mg\sen\alpha\leq\mu(N_P+N_Q).

    Substituindo a soma encontrada e dividindo por mg\cos\alpha:
    \tan\alpha\leq\mu\left(\frac{L}{a}-1\right).

    Portanto, isolando o comprimento, obtemos
    \boxed{L\geq a\left(1+\frac{\tan\alpha}{\mu}\right)}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem usa o comprimento inteiro como braço do peso, esquecendo que o peso atua no centro do bastão.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTroca o sinal do termo constante ao relacionar a soma das normais com o comprimento do bastão.
  • CIntroduz um fator 2 indevido na capacidade total de atrito dos contatos.
  • DCombina a troca do sinal do termo constante com um fator 2 indevido no atrito.
  • ECorresponde a usar L, em vez de L/2, como distância do centro de massa ao pino P.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Atrito e resistência do ar.

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Fonte: ITA 2017 · Física. Prova oficial ↗