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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Física) do ITA 2017

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Conversão de unidade: 1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}. Massa específica da água: 1\text{g/cm}^3. Massa da Terra: 6{,}0 \times 10^{24}\text{kg}. Raio da Terra: 6{,}4 \times 10^6\text{m}. Constante de Boltzman: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{J/K}. Constante dos gases: R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Massa atômica de alguns elementos químicos: \text{M}_\text{C} = 12\text{ u}, \text{M}_\text{O} = 16\text{ u}, \text{M}_\text{N} = 14\text{ u}, \text{M}_{\text{Ar}} = 40\text{ u}, \text{M}_{\text{Ne}} = 20\text{ u}, \text{M}_{\text{He}} = 4\text{ u}. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}. Massa específica do mercúrio: 13{,}6\text{ g/cm}^3. Permeabilidade magnética do vácuo: 4\pi \times 10^{-7}\text{ Tm/A}. Constante de Gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}m^3/\text{kg.s}^2.

Com os motores desligados, uma nave executa uma trajetória circular com período de 5\,400\text{ s} próxima à superfície do planeta em que orbita. Assinale a massa específica média desse planeta.

  1. A
    1{,}0\text{ g/cm}^3
  2. B
    1{,}8\text{ g/cm}^3
  3. C
    2{,}4\text{ g/cm}^3
  4. D
    4{,}8\text{ g/cm}^3
  5. E
    20{,}0\text{ g/cm}^3
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Resolução comentada

Numa órbita rasante (raio da órbita \approx raio R do planeta), a gravidade faz o papel de força centrípeta:

\frac{GMm}{R^2}=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}R \ \Rightarrow\ GM=\frac{4\pi^2R^3}{T^2}

O planeta é uma esfera, então M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3. Substituindo:

G\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi^2R^3}{T^2}

O raio R se cancela, e por isso não precisamos dele:

\rho=\frac{3\pi}{G\,T^2}

Cálculo com os valores do enunciado (usando \pi\approx 3{,}14):

  1. T^2=(5\,400)^2=2{,}916\times10^{7}\ \text{s}^2
  2. G\,T^2=6{,}7\times10^{-11}\times2{,}916\times10^{7}\approx1{,}95\times10^{-3}
  3. 3\pi\approx9{,}42
  4. \rho=\dfrac{9{,}42}{1{,}95\times10^{-3}}\approx4{,}8\times10^{3}\ \text{kg/m}^3

Convertendo, 1\ \text{g/cm}^3=10^3\ \text{kg/m}^3, logo \rho\approx4{,}8\ \text{g/cm}^3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito baixo, que não resulta de \rho=3\pi/(GT^2); provavelmente erro de potência de dez ou de fórmula.
  • BNão corresponde ao resultado de 3\pi/(GT^2); surge de erro na conta, como esquecer o fator 3 ou usar o período errado.
  • CAproximadamente metade do valor correto, o que sugere erro de fator 2 (por exemplo, usar \pi em vez de 2\pi).
  • ECerca de quatro vezes o valor correto, o que sugere erro de fator, como usar o raio da Terra ou esquecer o quadrado.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Densidade e pressão.

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Fonte: ITA 2017 · Física. Prova oficial ↗