Questão 9 (Física) do ITA 2016

Question

Um pêndulo simples é composto por uma massa presa a um fio metálico de peso desprezível. A figura registra medidas do tempo T em segundos, para 10 oscilações completas e seguidas do pêndulo ocorridas ao longo das horas do dia, t. Considerando que neste dia houve uma variação térmica total de 20^\circ\text{C}, assinale o valor do coeficiente de dilatação térmica do fio deste pêndulo.

Gráfico de dispersão em malha quadriculada do tempo T em segundos (eixo vertical de 80 a 80,5 s) versus o tempo t em horas (eixo horizontal de 0 a 24 h). Os pontos marcados são: (0, 80,3), (3, 80,1), (6, 80,0), (9, 80,2), (12, 80,4), (15, 80,5), (18, 80,5), (21, 80,4) e (24, 80,3).

A
2 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
B
4 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
C
6 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
D
8 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
E
10 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) do ITA 2016

Física · Física: Dilatação térmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J} = 4{,}2 \times 10^7\text{ erg}. Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Massa específica da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.

Massa específica do ar: 1{,}2\text{ kg/m}^3. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}.

Um pêndulo simples é composto por uma massa presa a um fio metálico de peso desprezível. A figura registra medidas do tempo T em segundos, para 10 oscilações completas e seguidas do pêndulo ocorridas ao longo das horas do dia, t. Considerando que neste dia houve uma variação térmica total de 20^\circ\text{C}, assinale o valor do coeficiente de dilatação térmica do fio deste pêndulo.

Gráfico de dispersão em malha quadriculada do tempo T em segundos (eixo vertical de 80 a 80,5 s) versus o tempo t em horas (eixo horizontal de 0 a 24 h). Os pontos marcados são: (0, 80,3), (3, 80,1), (6, 80,0), (9, 80,2), (12, 80,4), (15, 80,5), (18, 80,5), (21, 80,4) e (24, 80,3).

A
2 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
B
4 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
C
6 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
D
8 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}
E
10 \times 10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O período de um pêndulo simples é T = 2\pi\sqrt{L/g}, então T \propto \sqrt{L}. Se o fio dilata, L aumenta e o tempo medido também aumenta.

Dilatação linear: L = L_0(1+\alpha\,\Delta\theta). Logo:

\frac{T}{T_0}=\sqrt{1+\alpha\,\Delta\theta}

Do gráfico (10 oscilações), o menor valor é T_0 = 80{,}0\ \text{s} (às 6 h, temperatura mínima) e o maior é T = 80{,}5\ \text{s} (às 15 h e 18 h, temperatura máxima). A variação térmica entre esses extremos é \Delta\theta = 20^\circ\text{C}.

Elevando ao quadrado: \left(\dfrac{80{,}5}{80{,}0}\right)^2 = 1+\alpha\cdot 20.
Cálculo: \dfrac{80{,}5}{80} = 1{,}00625, e 1{,}00625^2 \approx 1{,}0125.
Então 20\alpha = 0{,}0125, ou seja, \alpha \approx 6{,}25\times10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}.

Por aproximação binomial: \Delta T/T_0 \approx \tfrac12\alpha\Delta\theta \Rightarrow 0{,}5/80 = 10\alpha \Rightarrow \alpha = 6{,}25\times10^{-4}, o mesmo resultado.

O valor mais próximo é 6\times10^{-4}\ ^\circ\text{C}^{-1}.

Alternativa C.

Pegadinha: Esquecer que T depende de \sqrt{L} (fator 1/2) leva a um valor de \alpha errado, na ordem de 3\times10^{-4}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito baixo; não corresponde a \Delta T/T_0 com o fator 1/2 da raiz.
BSubestima a variação de T ou usa um \Delta T menor que o extremo do gráfico (0,5 s).
DValor alto demais; não resulta dos dados do gráfico.
EEsquece o fator 1/2 da raiz quadrada e usa \Delta T/T_0=\alpha\Delta\theta (daria 3{,}1\times10^{-4}), ou erra a conta; não bate com o resultado.

Assuntos: Dilatação térmica, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: ITA 2016 · Física. Prova oficial ↗